TIMO - 2018 - Lớp 9 - Vòng Chung kết quốc gia - Đề 4

Các chữ số khác 0 $A,B,C$ thỏa mãn: $\overline{BAC}$ chia hết cho 37, $\overline{BCA}$ chia hết cho 5 và $\overline{ABC}$ có số lượng ước số là số lẻ. Tìm số có 3 chữ số $\overline{CBA}$.

Trung bình cộng, trung vị, khoảng biến thiên và mốt duy nhất của 100 số nguyên đều bằng 100. Gọi $A$ là số lớn nhất trong các số đó. Tìm giá trị lớn nhất của $A$.

10000 trẻ được đánh số từ 1 đến 10000, ngồi quanh vòng tròn theo thứ tự. Mỗi trẻ cầm một số nguyên; trẻ số 1 cầm số 1. Tổng các số do bất kỳ 2017 trẻ liên tiếp cầm đều bằng 2017. Trẻ số 1874 cầm số nào?

Cuộc thi toán có 20 câu. Mỗi câu đúng được 2 điểm, sai bị trừ 1 điểm, bỏ trống được 0 điểm. Cần ít nhất bao nhiêu thí sinh để chắc chắn có 3 người cùng số điểm?

Điền các số từ 1 đến 5 vào bảng sao cho năm số trong mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo trong hai đường chéo đều khác nhau. Ô $X$ cần điền số nào?

Gọi $\alpha,\beta\ne0$ là các nghiệm của $x^2-2017x+1=0$. Biết $\frac1\alpha,\frac1\beta$ là các nghiệm của $x^2-Sx+1=0$. Tính $S$.

Phân tích $(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3$ thành nhân tử.

Với $x$ là số thực, biết $4^x+4^{x+1}=2^x+2^{x+2}$. Tìm $x$.

Tìm số nguyên $a$ lớn nhất sao cho phương trình $ax^2+x+2=0$ có nghiệm thực.

Biết $0\le x\le2$ và $y=4x^2(2-x)+8x(2-x)^2+4(2-x)^3$. Tìm giá trị lớn nhất của $y$.

Số có 6 chữ số $\overline{20A17B}$ chia hết cho 72. Tính $A+B$.

Với $x$ là số thực, tìm giá trị nhỏ nhất của $\sqrt{x(x+2)+82}$.

Có bao nhiêu số nguyên dương $x$ sao cho $\sqrt{2017-x}$ là số nguyên?

Các số thực $x,y$ thỏa mãn $x^2+y^2=x+y$. Tìm giá trị lớn nhất của $x+y$.

Các số thực $x,y$ thỏa mãn $x+y=2$ và $x^2+y^2=5$. Tính $x^3+y^3$.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục $Ox$, trục $Oy$ và đường thẳng $2x-y+8=0$.

Một hình vuông và một đa giác đều 12 cạnh cùng nội tiếp một đường tròn. Biết diện tích đa giác đều là 12 cm². Tính diện tích hình vuông theo cm².

Một góc ngoài của đa giác đều $n$ cạnh bằng $5^\circ$. Tìm $n$.

Tam giác trong hình có các cạnh dài 3, 5, 7. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Hình vuông $OBCD$ có các đỉnh $O(0,0)$, $B(0,6)$, $C(6,6)$, $D(6,0)$. Điểm $P$ nằm trong hình vuông. Tìm giá trị nhỏ nhất của $PO+PB+PC+PD$.