AMC 10A năm 2002

Tỷ lệ $$
\dfrac{10^{2000}+10^{2002}}{10^{2001}+10^{2001}}
$$ gần nhất với số nào sau đây?

Đối với các số khác 0 $a,$ $b,$ và $c,$ xác định $$
(a,b,c)=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}.
$$ Tìm $(2,12,9).$

Theo quy ước tiêu chuẩn về lũy thừa, $$
2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{16}=65{,}536.
$$ Nếu thứ tự thực hiện lũy thừa bị thay đổi thì có thể có bao nhiêu giá trị *khác*?

Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ tồn tại một ít nhất một số nguyên dương $n$ sao cho $m\cdot n\le m+n?$

Mỗi vòng tròn nhỏ trong hình có bán kính bằng một. Đường tròn trong cùng tiếp xúc với sáu đường tròn bao quanh nó, và mỗi đường tròn đó đều tiếp xúc với đường tròn lớn và các đường tròn nhỏ lân cận của nó. Tìm diện tích của vùng được tô bóng.

Cindy được giáo viên yêu cầu trừ $3$ từ một số nhất định rồi chia kết quả cho $9.$ Thay vào đó, cô trừ $9$ rồi chia kết quả cho $3,$ và đưa ra câu trả lời là $43.$ Câu trả lời của cô ấy sẽ là gì nếu cô ấy giải đúng?

Nếu một cung $45^\circ$ trên đường tròn $A$ có cùng độ dài với một cung $30^\circ$ trên đường tròn $B,$ thì tỷ lệ của diện tích của đường tròn $A$ với diện tích của đường tròn $B$ là

Betsy đã thiết kế một lá cờ bằng cách sử dụng các hình tam giác màu xanh lam, các hình vuông nhỏ màu trắng và một hình vuông ở giữa màu đỏ như minh họa. Đặt $B$ là tổng diện tích của các hình tam giác màu xanh, $W$ tổng diện tích của các hình vuông màu trắng và $R$ là diện tích của hình vuông màu đỏ. Điều nào sau đây là đúng?

Giả sử $A,$ $B,$ và $C$ là ba số trong đó $1001C-2002A=4004$ và $1001B+3003A=5005.$ Trung bình cộng của ba số $A,$ $B,$ và $C$ là

Tính tổng tất cả các nghiệm của $(2x+3)(x-4)$ $+(2x+3)(x-6)=0.$

Jamal muốn lưu trữ $30$ tệp máy tính trên đĩa mềm, mỗi tệp có dung lượng $1.44$ megabyte (mb). Ba trong số các tệp của anh ấy yêu cầu mỗi tệp $0.8$ mb bộ nhớ, $12$ nhiều hơn yêu cầu $0.7$ mb mỗi tệp và $15$ còn lại yêu cầu $0.4$ mb mỗi tệp. Không có tập tin nào có thể được phân chia giữa các đĩa mềm. Số lượng đĩa mềm tối thiểu có thể chứa tất cả các tập tin là bao nhiêu?

Ông Earl E. Bird rời nhà đi làm vào đúng $8{:}00$ A.M. mỗi buổi sáng. Khi anh ta đạt trung bình $40$ dặm một giờ, anh ta đến nơi làm việc muộn ba phút. Khi anh ấy đạt trung bình $60$ dặm một giờ, anh ấy đến sớm ba phút. Với tốc độ trung bình bao nhiêu, tính bằng dặm một giờ, ông Bird nên lái xe đến nơi làm việc đúng giờ?

Các cạnh của một tam giác có độ dài $15,$ $20,$ và $25.$ Tìm độ dài đường cao ngắn nhất.

Cả hai nghiệm của phương trình bậc hai $x^2-63x+k=0$ đều là số nguyên tố. Số giá trị có thể có của $k$ là

Các chữ số $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ và $9$ được sử dụng để tạo thành bốn số nguyên tố có hai chữ số, với mỗi chữ số được sử dụng chính xác một lần. Tổng của bốn số nguyên tố này là bao nhiêu?

Nếu $a+1$ $=b+2$ $=c+3$ $=d+4$ $=a+b+c+d+5,$ thì $a+b+c+d$ là

Sarah đổ 4 ounce cà phê vào cốc 8 ounce và 4 ounce kem vào cốc thứ hai có cùng kích thước. Sau đó, cô chuyển một nửa cà phê từ cốc thứ nhất sang cốc thứ hai và sau khi khuấy kỹ, chuyển một nửa chất lỏng trong cốc thứ hai trở lại cốc thứ nhất. Bao nhiêu phần chất lỏng trong cốc đầu tiên bây giờ là kem?

Một khối lập phương $3\times 3\times 3$ được hình thành bằng cách dán các viên xúc xắc hình khối tiêu chuẩn $27$ lại với nhau. (Trên một khuôn tiêu chuẩn, tổng các số trên bất kỳ cặp mặt đối diện nào là $7.$) Tổng nhỏ nhất có thể có của tất cả các số hiển thị trên bề mặt của khối $3\times 3\times 3$ là

Chuồng chó của Spot có đáy hình lục giác đều, mỗi cạnh dài một thước. Anh ta bị buộc vào một đỉnh bằng một sợi dây dài hai thước. diện tích, tính bằng thước vuông, của khu vực bên ngoài chuồng chó mà Spot có thể tiếp cận là bao nhiêu?

Điểm $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ và $F$, theo thứ tự đó, trên $\overline{AF},$ chia nó thành năm đoạn, mỗi đoạn có độ dài $1.$ Điểm $G$ không nằm trên đường thẳng $AF.$ Điểm $H$ nằm trên $\overline{GD},$ và điểm $J$ nằm trên $\overline{GF}.$ Các đoạn thẳng $\overline{HC},$ $\overline{JE},$ và $\overline{AG}$ song song. Tìm $\frac{HC}{JE}.$