MathNet 2023 — lô 35 câu

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a^{b} = 2^{2023}$. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $b^{a}$.

Tính số ngày trong năm 2023 mà khi viết theo dạng tháng/ngày/hai chữ số cuối của năm, ba số thu được tăng nghiêm ngặt.
Ví dụ, $06 / 18 / 23$ là một ngày như vậy vì $6\lt 18\lt 23$, còn ngày $11 / 11 / 23$ thì không.

Cho tứ giác lồi $ABCD$ thỏa mãn $\angle ABD = \angle BCD = 90^{\circ}$, và $M$ là trung điểm của đoạn $BD$. Biết $CM = 2$ và $AM = 3$. Tính $AD$.

Với mỗi số nguyên dương $a$, gọi $\tau(a)$ là số ước nguyên dương của $a$. Tìm và chứng minh giá trị lớn nhất có thể của $4 \tau(n)-n$ khi $n$ chạy qua các số nguyên dương.

Một đa giác đều $n$ cạnh $P_{1} P_{2} \ldots P_{n}$ thỏa mãn $\angle P_{1} P_{7} P_{8} = 178^{\circ}$. Tính $n$.

Công thức đổi từ độ Celsius sang độ Fahrenheit là
$$
F^{\circ} = 1.8 \cdot C^{\circ} + 32
$$
Theo thang Celsius, nhiệt độ hiện tại ở New York cao hơn Boston $10^{\circ}$. Theo thang Fahrenheit, nhiệt độ ở New York cao hơn Boston bao nhiêu?

Cho $a$ và $b$ là các số thực dương thỏa mãn $a \cdot 2^{b} = 8$ và $a^{b} = 2$. Tính $a^{\log_{2} a} 2^{b^{2}}$.

Số $5.6$ có thể biểu diễn duy nhất, không kể thứ tự, thành tích $\underline{a} \cdot \underline{b} \times \underline{c} . \underline{d}$, với các chữ số $a, b, c, d$ đều khác 0. Tính $\underline{a} \cdot \underline{b}+\underline{c} \cdot \underline{d}$.

Số thực $x$ thỏa mãn $9^{x} + 3^{x} = 6$. Tính giá trị của $16^{1 / x} + 4^{1 / x}$.

Các điểm $X$, $Y$ và $Z$ nằm trên đường tròn tâm $O$ sao cho $XY = 12$. Các điểm $A$ và $B$ nằm trên đoạn $XY$ sao cho $OA = AZ = ZB = BO = 5$. Tính $AB$.

Tyler có một cấp số nhân vô hạn với tổng $10$. Bạn ấy tăng số hạng đầu thêm $4$ và điều chỉnh các số hạng tiếp theo để giữ nguyên công bội, tạo ra một cấp số nhân vô hạn mới có tổng $15$. Tính công bội của cấp số nhân này.

Tính số lượng các số nguyên dương có bốn chữ số là bội của $11$ và có tổng các chữ số trong hệ thập phân chia hết cho $11$.

Trong tứ giác lồi $ABCD$, hai đường chéo cắt nhau tại $O$; $M$ và $N$ lần lượt nằm trên các đoạn $OA$ và $OD$. Biết $MN$ song song với $AD$ và $NC$ song song với $AB$. Chứng minh $\angle ABM = \angle NCD$.

Cho ngũ giác lồi $L O V E R$ sao cho $L O V E$ là hình chữ nhật. Biết $O V = 20$ và $L O = V E = R E = R L = 23$, tính bán kính đường tròn đi qua $R$, $O$ và $V$.

Cho lục giác đều $ABCDEF$ và điểm $P$ nằm trong tứ giác $ABCD$. Nếu diện tích tam giác $PBC$ bằng $20$, còn diện tích tam giác $PAD$ bằng $23$, hãy tính diện tích lục giác $ABCDEF$.

Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ thỏa mãn
$$
\begin{aligned}
& AB + BC + CD + DE + EA = 64 \text{ và } \\
& AC + CE + EB + BD + DA = 72.
\end{aligned}
$$
Tính chu vi ngũ giác lồi có các đỉnh là trung điểm các cạnh của $ABCDE$.

Cho $P(x)$ là đa thức bậc ba với hệ số nguyên thỏa mãn $P(\sqrt{5})=5$ và $P(\sqrt[3]{5})=5 \sqrt[3]{5}$. Tính $P(5)$.

Cho số nguyên dương $n$, và gọi $s$ là tổng các chữ số của $2^{n}-1$ khi viết trong hệ cơ số bốn. Nếu $s=2023$ trong hệ thập phân, hãy tính $n$ trong hệ thập phân.

Hai số nguyên tố có hai chữ số phân biệt $p$, $q$ được viết nối tiếp theo hai thứ tự để tạo thành hai số có bốn chữ số. Ví dụ, $11$ và $13$ tạo ra $1113$ và $1311$. Nếu cả hai số có bốn chữ số đều chia hết cho trung bình cộng của $p$ và $q$, hãy tìm tất cả các cặp \{$p, q$\}.

Richard bắt đầu với chuỗi $HHMMMMTT$. Mỗi bước được phép thay một lần xuất hiện của $HM$ bằng $MH$, hoặc $MT$ bằng $TM$, hoặc $TH$ bằng $HT$. Tính số chuỗi khác nhau có thể nhận được sau không hoặc nhiều bước.