ASMO Toán 2022 — Lớp 8 — Vòng trường

Hình dưới là hình bình hành ABCD. N là trung điểm AB và F là trung điểm AD. Tìm tỉ số diện tích tam giác AFN với diện tích tứ giác CDFN.

Cho ba số thực a, b, c thỏa $ab+bc+ac=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2+c^2$.

Xe tải tính x xu cho mỗi kg trên mỗi dặm. Chở 3 kg hàng đi y dặm, nếu tài xế giảm 50% thì chi phí là bao nhiêu (tính bằng xu)?

Có bao nhiêu số nguyên dương gồm 7 chữ số mà các chữ số từ trái sang phải không tăng? Ví dụ: 5555555, 9998766; 7776556 không thỏa.

Xếp 5 quả bóng đỏ giống nhau và 13 quả bóng xanh giống nhau trên một hàng sao cho giữa hai quả đỏ bất kỳ có ít nhất một quả xanh. Có bao nhiêu cách?

Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số nguyên dương, không nhất thiết phân biệt, nhưng có ít nhất năm giá trị khác nhau. Giả sử với mọi cặp chỉ số $1\leq i\lt j\leq n$, tồn tại các chỉ số $1\leq k\lt l\leq n$, đều khác $i$ và $j$, sao cho

$$a_i+a_j=a_k+a_l.$$

Như vậy, bốn chỉ số $i,j,k,l$ đôi một phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $n$.

Charly có nhiều hơn 3 đồng 20 xu so với số đồng 10 xu. Tổng giá trị các đồng 20 xu nhiều hơn các đồng 10 xu 4,50 đô la. Charly có bao nhiêu đồng 20 xu?

Diện tích hình chữ nhật không đổi khi tăng chiều dài 6 cm và giảm chiều rộng 2 cm, hoặc giảm chiều dài 12 cm và tăng chiều rộng 6 cm. Nếu chu vi ban đầu là k cm, tìm k.

Lydia sinh ngày 1 tháng 1 năm 1995; bố cô sinh ngày 1 tháng 1 năm 1963. Vào năm nào bố đúng gấp đôi tuổi Lydia?

Hai tam giác cân bằng nhau ABC và EFG chồng lên nhau như hình; hai đáy song song, đỉnh của mỗi tam giác là trung điểm đáy tam giác kia. Nếu diện tích phần chung là 24 cm², diện tích tam giác ABC là bao nhiêu?

Cho $\sqrt{x}-\sqrt{y}=20$ với x, y là số thực. Tìm giá trị lớn nhất của $x-5y$.

Tìm số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn 5000 có dạng $a^n-1$, trong đó a, n nguyên dương và $n>1$.

Tờ giấy kẻ ô vuông cạnh 30 mm gồm 900 ô đơn vị cạnh 1 mm. Cắt bỏ bốn góc hình chữ nhật A, B, C, D theo chiều kim đồng hồ như hình, được hình chữ thập. Gọi N là số hình chữ nhật nằm trọn trong phần giấy còn lại, không tính các hình vuông. Tìm $N/10$.

Các số $1/1,1/2,\ldots,1/2010$ được viết trên bảng. Mỗi lần chọn p, q, xóa chúng và viết $p+q+pq$, cho tới khi chỉ còn một số. Số cuối là gì?

Tìm số dư khi chia $2^{55}+1$ cho 33.

Tính tổng tất cả số có 5 chữ số được lập bằng các chữ số 1, 3, 4, 7, 9 mà không chia hết cho 11.

Cho các số nguyên $a>b>c>0$. Nếu b và c nguyên tố cùng nhau, $b+c$ là bội của a và $a+c$ là bội của b, tìm $abc$.

Tìm tổng tất cả số nguyên dương p sao cho $(x-p)(x-13)+4$ viết được thành $(x+q)(x+r)$ với q, r là hai số nguyên khác nhau.

Cho $x=1/(2-\sqrt{3})$. Tính $x^6-2\sqrt{3}x^5-x^4+x^3-4x^2+2x-\sqrt{3}$.

Hình dưới là tam giác đều PRS. Diện tích tam giác PRS bằng một nửa diện tích tam giác PQR. Tìm góc PRQ (độ).