ASMO Toán 2022 — Lớp 9 — Vòng trường

Cho $\sqrt{x}-\sqrt{y}=20$ với x, y là số thực. Tìm giá trị lớn nhất của $x-5y$.

Tìm số nguyên tố lớn nhất nhỏ hơn 5000 có dạng $a^n-1$, trong đó a, n nguyên dương và $n>1$.

Tờ giấy kẻ ô vuông cạnh 30 mm gồm 900 ô đơn vị cạnh 1 mm. Cắt bỏ bốn góc hình chữ nhật A, B, C, D theo chiều kim đồng hồ như hình, được hình chữ thập. Gọi N là số hình chữ nhật nằm trọn trong phần giấy còn lại, không tính các hình vuông. Tìm $N/10$.

Các số $1/1,1/2,\ldots,1/2010$ được viết trên bảng. Mỗi lần chọn p, q, xóa chúng và viết $p+q+pq$, cho tới khi chỉ còn một số. Số cuối là gì?

Tìm số dư khi chia $2^{55}+1$ cho 33.

Tính tổng tất cả số có 5 chữ số được lập bằng các chữ số 1, 3, 4, 7, 9 mà không chia hết cho 11.

Cho các số nguyên $a>b>c>0$. Nếu b và c nguyên tố cùng nhau, $b+c$ là bội của a và $a+c$ là bội của b, tìm $abc$.

Tìm tổng tất cả số nguyên dương p sao cho $(x-p)(x-13)+4$ viết được thành $(x+q)(x+r)$ với q, r là hai số nguyên khác nhau.

Cho $x=1/(2-\sqrt{3})$. Tính $x^6-2\sqrt{3}x^5-x^4+x^3-4x^2+2x-\sqrt{3}$.

Hình dưới là tam giác đều PRS. Diện tích tam giác PRS bằng một nửa diện tích tam giác PQR. Tìm góc PRQ (độ).

Tìm số ước dương của $(2008^3+3\times2008\times2009+1)^2$.

Cho tam giác ABC, D nằm trên cạnh AB và $AD=BD=CD$. Nếu $\angle BCA=m^\circ$, tìm m.

Cho dãy số hữu tỉ $m_1,m_2,\ldots$ với $m_1=2$ và $m_{n+1}=(1+m_n)/(1-m_n)$ khi $n\geq1$. Tìm $300m_{2008}$.

Nếu $2010!=P\times10^b$ với P nguyên không chia hết cho 10, tìm b.

Cho p, q, r dương sao cho $pq+p+q=qr+q+r=rp+r+p=35$. Tìm $(p+1)(q+1)(r+1)$.

Cho k thực thỏa $k^2-15k+1=0$. Tính $k^4+1/k^4$.

Có bao nhiêu cách viết 2010 thành tổng một hoặc nhiều số nguyên dương theo thứ tự không giảm, sao cho số cuối hơn số đầu không quá 1?

Tìm giá trị biểu thức $10\sqrt{10\sqrt[3]{10\sqrt[4]{10\sqrt[5]{\cdots}}}}$.

Có bao nhiêu cách lát hình chữ nhật $4\times9$ bằng các miếng $1\times2$?

Cho $a\sqrt{a}+b\sqrt{b}=183$ và $b\sqrt{a}+a\sqrt{b}=182$, với a, b thực. Tìm $(9/5)(a+b)$.