Cho tam giác $ABC$ tùy ý. Trên các cạnh $AB$, $BC$ và $CA$ lần lượt chọn các điểm tùy ý $C_1$, $A_1$ và $B_1$. Gọi $P_1$, $P_2$ và $P_3$ lần lượt là diện tích các tam giác $AC_1B_1$, $BC_1A_1$ và $CA_1B_1$, còn $P$ là diện tích tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $\sqrt{P_1} + \sqrt{P_2} + \sqrt{P_3} \le \frac{3}{2}\sqrt{P}$.
Một lối đi trồng cỏ bao quanh một sân bóng nhựa đường hình chữ nhật có kích thước $36$ dm và $12$ m (như hình vẽ). Chiều rộng $d$ của lối đi bằng một phần tư nửa chu vi của sân. Cần bao nhiêu mét dây để rào lối đi trồng cỏ khỏi sân, nếu quấn xung quanh $5$ lớp dây? Cần bao nhiêu cột để cố định hàng rào, nếu khoảng cách giữa hai cột liền kề bất kỳ là $6$ dm?
Học sinh lớp IV làm một bài kiểm tra toán gồm 20 bài. Mỗi bài giải đúng được 5 điểm, còn mỗi bài giải sai hoặc không giải bị trừ 3 điểm.
a) Ivan đã giải đúng bao nhiêu bài, nếu bạn ấy được 76 điểm?
b) Học sinh được sai nhiều nhất bao nhiêu bài nếu muốn chắc chắn đạt điểm 5? Số điểm tối thiểu cần để được điểm 5 là nghiệm của phương trình $8245:x=97$.
Học sinh lớp $IV^{a}$ tham gia câu lạc bộ sinh thái, văn học hoặc toán học. Có năm học sinh tham gia cả ba câu lạc bộ, và chín học sinh tham gia đúng hai câu lạc bộ. Có 8 học sinh tham gia cả câu lạc bộ sinh thái và văn học, và cũng có số học sinh như vậy tham gia cả câu lạc bộ văn học và toán học. Ngoài ra, có 20 học sinh chỉ tham gia đúng một câu lạc bộ, trong đó có 5 học sinh chỉ ở câu lạc bộ sinh thái và 5 học sinh chỉ ở câu lạc bộ toán. Lớp $IV^{a}$ có bao nhiêu học sinh?
Dimitar có hai tấm bìa hình vuông với cạnh $3$ cm và $4$ cm. Bạn ấy có thể cắt rồi ghép chúng thành một hình vuông mà không bỏ phần nào không? Nếu có thể, cạnh của hình vuông đó dài bao nhiêu?
Một tờ tiền 100 denar cần được đổi thành các đồng xu 2 denar và 5 denar, với tổng cộng 32 đồng. Nếu có cách đổi như vậy thì đã dùng bao nhiêu đồng 2 denar và bao nhiêu đồng 5 denar?
Một tấm kim loại hình chữ nhật có khối lượng $10$ g. Cần chia (cắt) nó thành ba phần có khối lượng là số nguyên. Với ba phần thu được, phải có thể cân được (theo gam) mọi khối lượng từ $1$ đến $10$ g là số tự nhiên. Khối lượng của mỗi phần phải bằng bao nhiêu?
Hai đoạn thẳng $\overline{AB}$ và $\overline{CD}$ có độ dài bằng nhau nằm trên cùng một đường thẳng sao cho $\frac{1}{4}$ độ dài của chúng là phần chung. Xác định độ dài của các đoạn thẳng đó nếu khoảng cách giữa hai trung điểm của chúng là $6$ cm.
Mười hai hiệp sĩ ngồi quanh một bàn tròn cần chọn một đoàn đại biểu hai người để đến thăm vua Arthur. Có bao nhiêu cách chọn như vậy sao cho trong đoàn đại biểu hai người không có hai hiệp sĩ ngồi cạnh nhau ở bàn tròn?
Trong tam giác $ABC$, $\angle ACB = 40^{\circ}$. Các đường phân giác của góc trong và góc ngoài tại đỉnh $C$ cắt đường thẳng $AB$ lần lượt tại các điểm $D$ và $E$, sao cho $\triangle CDE$ cân. Xác định các góc của tam giác $ABC$.
Trong $\triangle ABC$, $\overline{AC}=5 \text{ cm}$ và $\overline{BC}=9 \text{ cm}$. Từ trung điểm của cạnh $AB$ dựng đường vuông góc cắt cạnh $BC$ tại điểm $E$. Nối điểm $E$ với đỉnh $A$. Tính chu vi của $\triangle AEC$.
Trong một bảng vuông $3 \times 3$, Dimitar có thể viết các số $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{6}$. Dimitar có thể viết vào mỗi ô một trong các số này sao cho tổng các số trong ba hàng, ba cột và hai đường chéo đều khác nhau từng đôi một không?
**Điểm $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ của hình vuông $ABCD$.** Điểm $S$ nằm bên trong hình vuông và cách đều các điểm $A$, $D$ và $M$. Độ dài cạnh hình vuông là $a = 40 \text{ cm}$. Tính chu vi và diện tích của tứ giác $ABMS$.
Có hai cây nến với độ dài và độ dày khác nhau. Cây nến dài hơn và mảnh hơn cháy hết hoàn toàn sau $3{,}5$ giờ, còn cây nến ngắn hơn và dày hơn cháy hết sau $5$ giờ. Hai cây nến được thắp cùng lúc, và sau $2$ giờ cháy thì độ dài của chúng bằng nhau. Cây nến mảnh dài hơn cây nến dày bao nhiêu phần trăm?
Trong tam giác $ABC$ có góc $\angle BAC = 70^\circ$ và góc $\angle ABC = 50^\circ$. Điểm $M$ nằm bên trong $\triangle ABC$ sao cho $\angle MAC = \angle MCA = 40^\circ$. Xác định các góc $\angle AMB$ và $\angle BMC$.
