SEAMO 2026 Paper F SET 1 – Đề tự luyện

Tìm số nhỏ nhất có 4 chữ số có cùng số lượng ước dương với 2022.

Trong tam giác ABC, $\angle C=90^\circ$, CA=3, CB=4. D nằm trên đoạn AB sao cho CD vuông góc AB. E nằm trên đoạn AC sao cho DE vuông góc CA. Nếu $DE=m^2/n^2$, với m,n nguyên tố cùng nhau, tính m+n.

Cho x,y là số thực thỏa mãn $x^2-2xy+2y^2-4y+4=0$. Tính $x^4+y^4$.

Gọi O,I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC có ba cạnh 6,8,10. Biết $OI=x$, tính $x^2$.

Tìm hai chữ số cuối của $2022^{2022}$.

Andrew và Bob chơi với 2022 thẻ úp:1001 thẻ đen, các thẻ còn lại trắng. Mỗi vòng rút liên tiếp hai thẻ. Đen rồi trắng thì Andrew thắng; trắng rồi đen thì Bob thắng. Nếu cùng màu, tiếp tục rút không hoàn lại. Nếu xác suất Andrew thắng là x, tính $\lfloor2022x\rfloor$.

Cho $\alpha=\pi/18$. Tính $\cos\alpha+\cos2\alpha+\cdots+\cos18\alpha$.

Tìm số dư khi chia $20^{2027}+2^{2027}+23^{2027}+32^{2027}$ cho 2027.

Cho $f(x)=(x+1)^2$. Tính tổng mọi giá trị x thỏa mãn $fff(x)=x$.

Trong tam giác ABC, $AC=2\sqrt{17}$, BC=8, AB=10. D,E,F lần lượt là trung điểm BC,CA,AB. P,Q là hình chiếu của A,D trên EF. Tính PQ.

Tìm số cách biểu diễn $2072=a\cdot10^3+b\cdot10^2+c\cdot10+d$, trong đó a,b,c,d là số nguyên không âm không vượt 99.

ABCD là tứ giác có AB=BC=CD=DA và $\angle ABC<90^\circ$. E,F lần lượt nằm trên các đoạn BC,CD (không trùng với B,C và D), và AB=AE=AF=FE. Tính $\angle BEF$.

Bất kỳ tập hợp n số nguyên phân biệt từ 1 đến 20 đều có ít nhất một cặp mà một số là bội của số kia. Tìm n nhỏ nhất.

Số có ba chữ số $\overline{abc}$ không có chữ số 0; a,b,c không nhất thiết khác nhau. Nếu $\overline{abc},\overline{bca},\overline{cab}$ đều chia hết cho 7, tính tổng mọi số $\overline{abc}$ có thể.

Trong tam giác ABC có ba cạnh a,b,c, $a^2+b^2+c^2$ bằng 20 lần diện tích. Tính $\cot A+\cot B+\cot C$.

Xác suất mưa là 3/5. Andrew và Bella đi từ trường về nhà. Andrew mang ô với xác suất 1/3; Bella mang ô với xác suất b. Nếu không mưa, xác suất họ đi cùng nhau là c. Nếu mưa, họ đi cùng nhau khi và chỉ khi đúng một người mang ô. Xác suất họ đi cùng nhau là 2/5. Giá trị nhỏ nhất của $b^2+c^2$ là δ. Tính $\lfloor100\delta\rfloor$.

Cho $f(x)=\sqrt{\log_2\frac{5x+1}{4x-1}}$. Nếu hàm số không xác định trong miền $m<x\le n$, tính $\lfloor m+100n\rfloor$.

Một cách sắp xếp các chữ số 0,1,2,…,9 được gọi là vui mắt nếu 0,1,2,3,4 xuất hiện theo thứ tự tăng và 5,6,7,8,9 theo thứ tự giảm. Ví dụ 9801237465 là một cách vui mắt. Nếu chữ số đầu không được là 0, có bao nhiêu cách vui mắt?

Đa thức $1-x+x^2-x^3+\cdots+x^8-x^9$ viết thành $a_0y^9+a_1y^8+a_2y^7+\cdots+a_8y+a_9$, với x=y−1. Tính $|a_2|$.

Andrew và Bob chơi với 5 thẻ mang số 1,2,3,4,5. Andrew xáo rồi úp các thẻ. Mỗi vòng Bob chọn 3 thẻ bất kỳ, Andrew nói giá trị của một trong ba thẻ đó. Bob được hỏi bao nhiêu vòng tùy ý. Bob cần hỏi tối đa bao nhiêu lượt thì chắc chắn biết được vị trí của tất cả các thẻ?