AMO 2025 Khối 9

Câu hỏi 1

Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn $1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=2025$.

1. $25$
2. $15$
3. $10$
4. $9$

Câu hỏi 2

Các số nguyên dương $A,B$ thỏa mãn $\frac A{x+2}+\frac B{x-3}=\frac{45x-10}{x^2-x-6}$. Tính $A+B$. Làm rõ: hiểu đẳng thức đúng với mọi $x\ne-2,3$; đề gốc không nêu rõ điều này.

1. $60$
2. $50$
3. $49$
4. $45$

Câu hỏi 3

Cho $A=(1,5)$ và $B=(7,10)$. Chọn $C$ trên $y=x$ sao cho $AC+CB$ nhỏ nhất. Hoành độ của $C$ bằng bao nhiêu?

1. $\frac{45}{8}$
2. $\frac{43}{7}$
3. $\frac{5\pi}{6}$
4. $\frac{25}{8}$

Câu hỏi 4

Chia 10 quả táo giống nhau cho 5 người phân biệt, mỗi người ít nhất một quả. Có bao nhiêu cách chia?

1. $145$
2. $126$
3. $120$
4. $108$

Câu hỏi 5

Tam giác $ABC$ vuông tại $C$, $BC=AB/2$ và $F$ là trung điểm $AB$. Tính $\angle BFC$.

1. $45^\circ$
2. $60^\circ$
3. $65^\circ$
4. $75^\circ$

Câu hỏi 6

Hình lập phương cạnh 12 inch được cắt bởi hai mặt phẳng $AFC$ và $DEG$ như hình. Tính thể tích phần giữa giống chiếc trống, theo inch khối.

1. $1664$ inch khối
2. $1444$ inch khối
3. $1152$ inch khối
4. $128$ inch khối

Câu hỏi 7

Quay $B=(7,4)$ ngược chiều kim đồng hồ $90^\circ$ quanh $A=(3,2)$. Tìm $B^{\prime}$.

1. $(10,6)$
2. $(\sqrt{10},3)$
3. $(1,6)$
4. $(-2,-8)$

Câu hỏi 8

Số dư của $3^{2025}$ khi chia cho 7 là bao nhiêu?

1. $1$
2. $3$
3. $5$
4. $6$

Câu hỏi 9

Tam giác $ABC$ có các đỉnh $A=(2,9)$, $B=(2,1)$, $C=(8,1)$. Tính bán kính đường tròn nội tiếp.

1. $4.5$
2. $2.0$
3. $1.5$
4. $1.0$

Câu hỏi 10

Câu hỏi 11

Câu hỏi 12

Câu hỏi 13

Câu hỏi 14

Câu hỏi 15

Câu hỏi 16

Câu hỏi 17

Câu hỏi 18

Câu hỏi 19

Câu hỏi 20