MYTS 2019 — Lớp 9 — Vòng 1

Giải phương trình $\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+(x+3)(x+5)}}=2019x+1$.

Tìm số tự nhiên $n$ sao cho $n$ và $n+19$ đều là các số chính phương.

Trong hình dưới đây, $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng 2, tam giác $BEC$ vuông cân tại $E$. Tính độ dài đoạn thẳng $AE$.

Xét các số thực $x,y,z$ thoả mãn $x^2+2y^2+9z^2=12$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=xy+3yz$.

Cho $A$ là tổng tất cả các ước dương của $2^{2019}$. Tìm số dư trong phép chia $A$ cho 3.

Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ sao cho phương trình $x^2-9x+a=0$ có hai nghiệm thực $x_1,x_2$ thoả mãn $(x_1-2)^2+(x_2-3)^2=10$.

Một cái chảo có thể đựng được tối đa bốn miếng đậu. Dùng chảo đó, để rán chín một mặt của một miếng đậu cần 1 phút. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu phút để rán chín cả hai mặt mười miếng đậu?

Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ tiếp xúc với nhau, và $AB$ là một tiếp tuyến chung ngoài của chúng. Biết $AB=18$, bán kính đường tròn $(O_1)$ bằng 3. Tính bán kính của đường tròn $(O_2)$.

Cho ba số $a,b,c$ khác 0, đôi một phân biệt và thoả mãn $a+\frac4b=b+\frac4c=c+\frac4a$. Tính $|abc|$.

Cho $M=11\times21\times31\times\cdots\times91\times101$. Tìm số dư trong phép chia $M$ cho 100.

Với mỗi số nguyên dương $k$, đặt $f(k)=\frac1{(k+2)\times(k!)}$. Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho

$$f(1)+f(2)+\cdots+f(n)<\frac12-\frac1{2019!}.$$

($k!$ là tích của $k$ số nguyên dương đầu tiên.)

Người ta ghi vào mỗi đỉnh của bát giác ở hình dưới đây một số thực khác 0, sao cho số tại mỗi đỉnh màu đen bằng tổng hai số tại hai đỉnh màu trắng kề với nó, số tại mỗi đỉnh màu trắng bằng tích hai số tại hai đỉnh màu đen kề với nó. Tính tổng tất cả các số đã ghi.

Trong hình dưới đây, $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng 2, $O$ là trung điểm $AD$, $EF$ tiếp xúc với nửa đường tròn đường kính $AD$ tại $M$. Tính độ dài đoạn thẳng $EF$.

Cho $x,y$ là hai số thực thoả mãn $x+y=12$ và $[x]+2[y]=13$. Tìm tất cả các giá trị của $[x]$.

($[x]$ kí hiệu phần nguyên của số thực $x$.)

Trong hình vẽ dưới đây, $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$. Biết diện tích tam giác $ABE$ bằng 4, diện tích tam giác $ACD$ bằng 6 và độ dài đoạn $AH$ bằng 4. Tính độ dài đoạn thẳng $BC$.

Tìm tất cả các số thực $a$ sao cho $a+\sqrt5$ và $a^2+\sqrt5$ đều là số hữu tỉ.

Hỏi từ tất cả các ước nguyên dương của $20^{2019}$ có thể chọn được tối đa bao nhiêu số sao cho trong các số được chọn không có số nào là bội của số khác?

Trong hộp có 100 viên bi, gồm bi vàng, bi xanh, bi trắng và bi đỏ. Biết rằng nếu lấy 90 viên bi bất kì trong hộp, thì chắc chắn có bốn viên đôi một khác màu. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu viên bi để chắc chắn có ba viên đôi một khác màu?

Hỏi từ 30 số nguyên dương đầu tiên, có thể chọn được tối đa bao nhiêu số, sao cho mỗi số được chọn không là ước của tích tất cả các số được chọn còn lại?

Cho dãy gồm 8 ô vuông, được đánh số như ở hình dưới đây. Khi nhảy từ ô số $m$ sang ô số $n$, ta nói rằng đã thực hiện một bước nhảy có độ dài bằng $|m-n|$.

Xuất phát từ ô số 0, một con ếch nhảy liên tiếp vào các ô còn lại sao cho độ dài của mỗi bước nhảy bằng 1, 2, hoặc 4, và không nhảy vào ô nào quá 1 lần. Hỏi tổng độ dài các bước nhảy có thể nhận giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?