MYTS 2019 - Lớp 8 - Vòng 2

Cho hai số $a,b$ có tích bằng 1. Chứng minh rằng $(a+b)(a^5+b^5)\ge4$. Hỏi dấu bằng xảy ra khi nào?

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $p^2+26$ có ít nhất hai ước nguyên tố lớn hơn $p$.

Cho 2019 số $a_1,a_2,\ldots,a_{2019}$ có tổng lớn hơn 1. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n\le2019$ sao cho tất cả các số $a_n$, $a_n+a_{n-1}$, ..., $a_n+a_{n-1}+\cdots+a_1$ đều là số dương.

Cho $a,b,c$ là các số nguyên sao cho $ab+bc+ca+1$ chia hết cho 4. Chứng minh rằng $a+b+c+abc$ cũng chia hết cho 4.

Trên đoạn thẳng $AB$, lấy hai điểm phân biệt $C$ và $D$ tùy ý sao cho $C$ nằm giữa $A$ và $D$. Dựng các hình vuông $ACMN$, $ADGH$, $BCPQ$ và $BDEF$, sao cho trong hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $AB$, một nửa mặt phẳng chứa $M,P$, và nửa mặt phẳng còn lại chứa $G,E$. Gọi $I$ là giao điểm của $QH$ và $FN$. Chứng minh rằng $IC=ID$.

Mỗi lớp $8A,8B,8C$ đều có 36 học sinh. Biết rằng mỗi học sinh thuộc một trong ba lớp đó đều quen ít nhất 42 học sinh thuộc hai lớp còn lại. Chứng minh rằng tồn tại hai học sinh, thuộc hai lớp khác nhau, quen nhau và cùng quen ít nhất 6 bạn thuộc lớp còn lại.

Lưu ý: Nếu A quen B thì B cũng quen A.