MYTS 2019 — Lớp 8 — Vòng 1

Cho ba số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a-b=1,b-c=2$. Tính giá trị của biểu thức $P=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$.

Một hình chữ nhật có chu vi bằng 10 cm và đường chéo bằng $\sqrt{13}$ cm. Hỏi diện tích hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu cm²?

Một hộp bút chì màu gồm ba loại: xanh, đỏ, vàng. Biết rằng tổng số bút màu đỏ và màu vàng nhiều hơn số bút màu xanh là 5; tổng số bút màu xanh và màu vàng nhiều hơn số bút màu đỏ là 13. Hỏi hộp có bao nhiêu bút màu vàng?

Cho $a$ là một số thực thoả mãn $a^2+2a-1=0$. Tìm giá trị của biểu thức $Q=a^4-4a^2+4a+3$.

Trong hình dưới đây, $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng 2, tam giác $BEC$ vuông cân tại $E$. Tính độ dài đoạn thẳng $AE$.

Cho $A$ là tổng tất cả các ước dương của số $7^{2019}$. Tìm số dư trong phép chia số $A$ cho 3.

Một câu lạc bộ toán có 15 bạn, thuộc các khối lớp 7, 8 và 9. Tất cả các thành viên của câu lạc bộ đã góp 40 quyển sách cho thư viện nhà trường. Biết rằng mỗi bạn lớp 7 góp 1 quyển, mỗi bạn lớp 8 góp 4 quyển, và mỗi bạn lớp 9 góp 6 quyển. Tìm số học sinh của từng khối lớp trong câu lạc bộ đó.

Tìm hệ số của $x$ trong khai triển tích sau thành đa thức:

$(x+1)(2x+1)(3x+1)\cdots(10x+1)$.

Một cái chảo có thể đựng được tối đa bốn miếng đậu. Dùng chảo đó, để rán chín một mặt của một miếng đậu cần 1 phút. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu phút để rán chín cả hai mặt mười miếng đậu?

Trong một buổi tập, kình ngư Huy Hoàng đã bơi từ đầu bể tới cuối bể với một vận tốc không đổi. Biết rằng nếu bơi với vận tốc bằng 120% vận tốc đã bơi, Huy Hoàng sẽ rút ngắn được thời gian bơi là 2 giây. Hỏi nếu ở nửa quãng đường đầu vẫn bơi với vận tốc đã bơi và tăng tốc thêm 25% ở nửa quãng đường còn lại thì Huy Hoàng sẽ giảm được thời gian bơi là bao nhiêu giây?

Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $s(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Chẳng hạn $s(2019)=2+0+1+9=12$. Hỏi có bao nhiêu số $n$ có ba chữ số và thỏa mãn $s(n)>s(n+1)$?

Cho hình thang $ABCD$; gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Biết diện tích tam giác $ABO$ bằng 3 cm² và diện tích tam giác $CDO$ bằng 4 cm². Tìm diện tích tam giác $ADO$. Trả lời bằng cm².

Xét các số thực $x,y,z$ thoả mãn $x^2+2y^2+9z^2=12$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=xy+3yz$.

Cho $M=11\times21\times31\times\cdots\times91\times101$. Tìm số dư trong phép chia $M$ cho 100.

Với mỗi số nguyên dương $k$, đặt $f(k)=\frac1{(k+2)\times(k!)}$. Tìm số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho

$$f(1)+f(2)+\cdots+f(n)<\frac12-\frac1{2019!}.$$

($k!$ là tích của $k$ số nguyên dương đầu tiên.)

Trong hình dưới đây, $ABCD$ và $AEFG$ là các hình vuông. Tính tỉ số $\frac{CF}{DE}$.

Trong hộp có 100 viên bi, gồm bi vàng, bi xanh, bi trắng và bi đỏ. Biết rằng nếu lấy 90 viên bi bất kì trong hộp, thì chắc chắn có bốn viên đôi một khác màu. Hỏi phải lấy ít nhất bao nhiêu viên bi để chắc chắn có ba viên đôi một khác màu?

Trong hình dưới đây, $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng 2, $O$ là trung điểm $AD$, $EF$ vuông góc với $CO$ tại $M$ và $OM=1$. Tính độ dài đoạn thẳng $EF$.

Hỏi có bao nhiêu cách tô màu các ô vuông $A,B,C,D$ trong hình vẽ dưới đây, sao cho mỗi ô vuông được tô bởi một trong bốn màu xanh, đỏ, tím, vàng, và hai ô cạnh nhau có màu khác nhau?

Xét số $N$ là tích của 10 số nguyên dương lớn hơn 1 và đôi một phân biệt. Hỏi $N$ có ít nhất bao nhiêu ước nguyên dương?