MYTS 2019 - Lớp 7 - Vòng 2

Cho các số dương $x,y$ thỏa mãn $\frac{x-5y}{x+y}=\frac12$. Tính giá trị của biểu thức $S=\frac{x-4y}{x+3y}$.

Cho ba số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=bc$. Chứng minh rằng $(a+b)(a+c)$ chia hết cho 4.

Cho hai số hữu tỉ $x$ và $y$. Chứng minh rằng, nếu $x+y$ và $xy$ là các số nguyên thì $x$ và $y$ cũng là các số nguyên.

Có 50 tấm thẻ, trên mỗi tấm thẻ có ghi một số nguyên dương không vượt quá 50, và hai số ghi trên hai tấm thẻ bất kì là khác nhau. Hỏi có hay không số nguyên dương $n$ sao cho ta có thể xếp 50 tấm thẻ đó vào $n$ chiếc hộp, thỏa mãn điều kiện: trong mỗi hộp, có thể chia các tấm thẻ thành hai nhóm mà tổng các số ghi trên các tấm thẻ của một nhóm bằng tổng các số ghi trên các tấm thẻ của nhóm còn lại?

Nếu trong nhóm chỉ có một tấm thẻ thì tổng các số ghi trên các tấm thẻ của nhóm đó là số ghi trên chính tấm thẻ ấy.

Trong hình vẽ dưới đây: đường thẳng $AB$ song song với đường thẳng $CD$, $E$ là giao điểm của tia phân giác góc $DAB$ và tia phân giác góc $CBA$; $ADC$ và $BCD$ là các góc nhọn. Biết rằng $AD=5$ cm và $EC=ED$. Tính độ dài đoạn $BC$. (Nhập số xentimét.)

Cho 2019 số thực dương $a_1\le a_2\le\cdots\le a_{2018}\le a_{2019}$ thỏa mãn điều kiện: với mọi $1\le i<j<k\le2019$, tích $a_i a_j a_k$ là một số trong 2019 số đó. Chứng minh rằng $a_2=a_3=\cdots=a_{2018}=1$.