MYTS 2018 — Lớp 9 — Vòng 1

Giải phương trình $\sqrt{2x+1}=x-3/2$.

Số nguyên dương $n$ chia 3 dư 1. Tìm số dư của $n(n+1)/2$ khi chia 9.

Hình vuông $ABCD$ có cạnh 1. Lấy $A,B,C$ làm tâm vẽ các cung tròn bán kính 1 như hình. Tính độ dài cung $MN$.

Đa thức $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+1$ có bốn nghiệm là độ dài các cạnh của một hình bình hành. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=a+b+c$.

Tìm số chính phương nhỏ nhất chia hết 11 và chia 7 dư 1.

Hình thang $ABCD$ có $AB\parallel CD$, $AB=BC=17$, $AC=30$, $\angle CAD=90^\circ$. Tính $AD$.

Có bao nhiêu bộ ba số nguyên $(a,b,c)$ thỏa $ab+bc+ca=0$ và $1/a^3+1/b^3+1/c^3+3/4=0$?

Chia một đa giác lồi có 2018 đỉnh thành các tam giác bằng những đường chéo không cắt nhau trong đa giác. Gọi $a,b,c$ là số tam giác có lần lượt 2,1,0 cạnh là cạnh đa giác. Biết $a=504b$, tính $c$.

Các số thực $a,b,c,d$ thỏa $(a+b)(c+d)=2$, $(a+c)(b+d)=3$, $(a+d)(b+c)=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2+c^2+d^2$.

Các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa $(p+q)/r=p-q+r$ và $p+q<120$. Tìm giá trị lớn nhất của $pqr$.

Trong hình, $ABC$ là tam giác đều, $D$ là trung điểm $AC$ và $DE\parallel BC$, với $E$ trên đường tròn ngoại tiếp $ABC$ như hình. Tính $DE/BC$.

Có 13 hình tròn xếp thành 3 hàng, mỗi hàng 5 hình như hình vẽ. Điền các số nguyên dương đầu tiên từ 1 đến 13, mỗi số dùng một lần, sao cho tổng 5 số ở mỗi hàng bằng tổng 7 số ở các hình tròn tô đậm. Tổng lớn nhất của 6 số ở các hình tròn đánh dấu × là bao nhiêu?

Trong hình, $d_1,d_2,d_3$ đôi một song song, khoảng cách từ $d_1$ đến $d_2$ là 1 cm và từ $d_2$ đến $d_3$ là 3 cm. $ABC$ là tam giác đều với các đỉnh trên ba đường như hình. Tính cạnh tam giác, bằng cm.

Có 21 chai sữa:7 chai mỗi chai 1 lít,7 chai mỗi chai $2/3$ lít,7 chai mỗi chai $1/3$ lít. Chia nguyên 21 chai cho 3 người sao cho số chai và số lít mỗi người bằng nhau. Mỗi người có bao nhiêu chai từng loại, theo thứ tự $1,2/3,1/3$ lít?

Hai số nguyên dương $a,b$ nhỏ hơn 1000 có trung bình cộng và trung bình nhân là hai số nguyên lẻ liên tiếp. Tìm giá trị lớn nhất của $|a-b|$.

Hình vuông $ABCD$ có cạnh 1. Điểm $E$ di động trên $CD$, không trùng $C,D$. Dựng hình vuông $AEGF$ như hình. $J$ là giao điểm $BC$ với $EG$. Tìm giá trị lớn nhất của $CJ$.

Giải phương trình $[x]\cdot\{x\}=2018x$, trong đó $[x]$ là phần nguyên (số nguyên lớn nhất không vượt $x$) và $\{x\}=x-[x]$ là phần lẻ.

Số nguyên dương $n<10$. Viết các số từ 1 đến $n$ nối nhau theo thứ tự tùy ý, với $n$ ở cuối, được $N$. Gọi $S(N)$ là tổng chữ số của $N$. Tìm tất cả $n$ để $S(N)-N$ chia hết 45.

Hình vuông $ABCD$ có $A,B$ nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính 1 như hình. Đường tròn tâm $O_1$, bán kính $r$, tiếp xúc với $(O)$, đoạn $PD$ và $AD$. Tính $r$.

Bốn trang trại $A,B,C,D$ theo thứ tự nằm trên một đường thẳng, với $AB=2$ km, $AC=5$ km, $AD=6$ km. Đặt nhà máy trên đường đó sao cho tổng khoảng cách đến $A,B$ bằng tổng khoảng cách đến $C,D$. Nhà máy cách $A$ bao nhiêu km?