VTMO 2026 - Lớp 9 - Bán kết - SET 08 - Tự luyện tập

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$, gọi $M$ là trung điểm của $OB$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $AB$ cắt đường tròn tại $C$. Lấy $E$ trên đoạn $AB$, khác $A,B$; $CE$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai $D$. Từ $B$ hạ đường vuông góc với $CD$ tại $H$.

a) Chứng minh $CH=\dfrac12AD$.

b) $BH$ cắt đường tròn tại điểm thứ hai $F$. Gọi $I$ là trung điểm $DF$. Chứng minh $I$ nằm trên một đường tròn cố định khi $E$ thay đổi.

Cho p, q là hai số nguyên tố phân biệt. Đặt $N=p^3q^4$ và $A=\{n/N:1\le n\le N,\ n\in\mathbb N,\ \gcd(n,pq)=1\}$. Tính tổng tất cả phần tử A.

Đường tròn được chia thành 12 cung bằng nhau với các điểm A đến L theo thứ tự. Các góc x, y được đánh dấu như hình. Tính $x+y$.

Cho hình thang cân $ABCD$ với $AB\parallel CD$, $AB\lt CD$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $K$ là giao điểm hai đường chéo. Gọi $M,N$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $KAB,KCD$; $P,Q$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $KAD,KBC$.

a) Chứng minh $MQNP$ là hình bình hành.

b) Chứng minh $KM=ON$.

Gấp tấm bìa trong hình thành hình lập phương, mỗi số ở trên một mặt. Tìm tích lớn nhất của ba số trên ba mặt có chung một đỉnh.

Cân lần lượt 10 con heo. Sau mỗi lần cân, tính khối lượng trung bình của các con đã cân; các giá trị trung bình tăng 1 kg sau mỗi lần. Con thứ 10 nặng hơn con đầu tiên bao nhiêu kg?

Ảnh của đoạn PQ qua phép đối xứng trục Ox trong hình là đoạn nào?

Có 60 ghế quanh một bàn tròn. Xếp học sinh sao cho mỗi người có đúng một người ngồi cạnh mình. Nhiều nhất bao nhiêu học sinh có thể ngồi?

Điền các số 1,2,3 vào bảng $5\times5$ sao cho mọi hình vuông $2\times2$ đều có đủ cả ba số. Tìm tổng nhỏ nhất S của 25 ô.

Trong tam giác ABC vuông tại A, có bốn đường tròn bằng nhau tiếp xúc với nhau và các cạnh theo hình. Biết AB=27, AC=36. Tìm bán kính mỗi đường tròn.

Hạnh và Phúc cùng gấp 24 tàu lượn,15 hạc giấy. Hạnh cần 2 phút/tàu và 6 phút/hạc; Phúc cần 3 phút/tàu và 5 phút/hạc. Hai bạn làm đồng thời. Ít nhất bao nhiêu phút để đủ các hình?

Có bao nhiêu tam thức $f(x)=x^2-ax-b$, với a, b nguyên dương, có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 4?

Bốn bạn A, B, C, D có tổng 76 viên kẹo. Đồng thời, A giữ 1 viên, B giữ 2, C giữ 3, D giữ 4; mỗi người chia đều phần còn lại cho ba bạn khác. Cuối cùng bốn bạn có số kẹo bằng nhau. Ban đầu A có bao nhiêu?

Các số nguyên dương a, b thỏa $\dfrac1a+\dfrac2b=\dfrac8{2a+b}$ và $2010\le4a+7b\le2016$. Tính a+b.

Hai số tự nhiên a, b lần lượt chia 8 dư 1 và 2. Số $a^2-b^2$ chia 8 dư bao nhiêu?

BA=6 cm là tiếp tuyến của đường tròn tại A. Cát tuyến từ B cắt đường tròn lần lượt tại C, D như hình, với CD=9 cm. Tính BC.

Cho đường tròn đường kính AB; C nằm trên AB và BC=2 AC. Điểm D trên đường tròn thỏa DC vuông góc AB; DE là đường kính thứ hai như hình. Tính tỉ số diện tích tam giác CDE và ADB.

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Hai đường chéo AC, BD vuông góc tại I, với IA=3, IB=4, ID=6 cm như hình. Tính CD.

Trên AB dài 30 m, ba con bọ cùng xuất phát: con 1 từ A về B với 2 m/phút; con 2 cách A10 m, đi về B với 0.5 m/phút; con 3 từ B về A với 0.5 m/phút. Chúng dừng khi đến đầu mút. Tìm AC nhỏ nhất, C trên AB, sao cho tại bất kỳ thời điểm nào từ lúc cả ba xuất phát đến lúc cả ba dừng hẳn, luôn có ít nhất một con bọ đang bò trên đoạn AC.

Năm đội bóng đá thi đấu vòng tròn một lượt. Thắng được 3 điểm, thua 0, hòa mỗi đội 1. Sau một số trận, cả 5 đội có điểm dương và điểm đôi một khác nhau. Ít nhất đã có bao nhiêu trận?