VTMO 2026 - Lớp 9 - Bán kết - SET 07 - Tự luyện tập

Ký hiệu $[a]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a$. Có bao nhiêu số nguyên $n$ để $A=\left|\left[\dfrac{5n^2+9n+1}{2}\right]\right|$ là số nguyên tố?

Hộp thứ nhất có 4 bi xanh và 6 bi đỏ cùng kích thước. Hộp thứ hai có 8 bi xanh và 2 bi đỏ, đều lớn hơn bi hộp thứ nhất. Lấy ngẫu nhiên $m$ bi từ hộp thứ nhất và $n$ bi từ hộp thứ hai để chắc chắn có hai bi cùng màu nhưng khác kích thước. Giá trị nhỏ nhất của $m+n$ là bao nhiêu?

Tam giác $ABC$ có $\angle ACB=45^\circ$. Dựng tam giác $ACI$ vuông cân tại $C$ ở ngoài $ABC$. Gọi $E=AC\cap BI$. Biết $BI=\sqrt2\,BC$. Tính $AE/CE$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $AB=6$ cm. Lấy $M\in AB,N\in AC$ với $AM=4$ cm,$AN=2$ cm. Lấy $P,Q\in BC$ sao cho $PM\perp MN$ và $QN\perp MN$. Tính diện tích tứ giác $MNQP$ theo $\mathrm{cm}^2$.

Tính $\left(1+\frac1{100}\right)\left(1+\frac1{101}\right)\cdots\left(1+\frac1{2012}\right)$.

Mật mã hành lý gồm ba chữ số từ 0 đến 9. Thử 923: chỉ một chữ số đúng và đúng vị trí. Thử 958: chỉ một chữ số đúng nhưng sai vị trí. Thử 379: chỉ hai chữ số đúng nhưng đều sai vị trí. Tìm mật mã.

Cho $a,b,c,d$ thỏa $a+b+c+d=10$. Chứng minh $ab+bc+cd+da\ne50$.

Một hình chữ nhật có diện tích $104\,\mathrm m^2$, chiều dài hơn chiều rộng 5 m. Tính chu vi.

Vào lúc 3 giờ 15 phút, góc nhỏ giữa kim giờ và kim phút bằng bao nhiêu?

Một con khỉ hài lòng nếu được ăn ba loại trái cây khác nhau. Có 20 quả táo,30 quả lê,40 quả chuối và 50 quả đào. Không chia nhỏ trái cây. Có thể làm hài lòng nhiều nhất bao nhiêu con khỉ?

Kiểm tra một dãy 16 chữ số bằng quy trình: đảo ngược dãy; giữ nguyên chữ số ở vị trí lẻ, nhân đôi chữ số ở vị trí chẵn; nếu tích có hai chữ số thì thay bằng tổng hai chữ số; cộng tất cả và yêu cầu tổng chia hết cho 10. Với dãy trong bài toán $2853\ 00QP\ P003\ 6002$, có bao nhiêu cặp chữ số $(P,Q)$ với $P\le Q$ thỏa kiểm tra?

Ví dụ được cho ngay trong nguồn: nhập dãy 4634 8932 1298 2767, đảo thành 7672 8921 2398 4364. Tổng các chữ số vị trí lẻ là A=7+7+8+2+2+9+4+6=45. Nhân đôi các chữ số vị trí chẵn được 12,4,18,2,6,16,6,8; tổng các chữ số của các kết quả này là B=(1+2)+4+(1+8)+2+6+(1+6)+6+8=45. Khi đó C=A+B=90, tận cùng bằng 0 nên dãy ví dụ đạt phép kiểm tra. Nguồn giới thiệu đây là thuật toán Luhn dùng phát hiện sai sót nhập một dãy số dài.

Tam giác $ABC$ có $\angle B=60^\circ$, $BC=8$ cm và $AB+AC=12$ cm. Tính $AB$.

Có 7 số nguyên khác nhau, sao cho tổng của 4 số bất kỳ luôn lớn hơn tổng của 3 số còn lại. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng 7 số.

Một túi có một bóng đỏ, một bóng vàng và một bóng xanh. Mỗi lần rút một bóng rồi bỏ lại. Bóng đỏ được 5 điểm, vàng 3 điểm, xanh 1 điểm. Minh rút 6 lần và đạt 20 điểm. Có bao nhiêu dãy kết quả có thể?

Hai tàu A, B cùng lúc khởi hành từ hai ga cách nhau 800 km và đi về phía nhau. Tàu A nhanh gấp 3 tàu B; sau 4 giờ chúng gặp nhau. Tìm hai vận tốc (km/giờ).

Có 46 bóng đèn đều đang tắt. Mỗi lần được đổi trạng thái đúng 3 bóng bất kỳ. Cần ít nhất bao nhiêu lần để tất cả 46 bóng đều sáng?

Cho $A=\dfrac{20}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt7}$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

Có bao nhiêu tam giác có chu vi 27 cm và độ dài các cạnh là các số nguyên $x\lt y\lt z$ (đơn vị cm)?

Có bao nhiêu số có 3 chữ số mà chữ số đầu tiên lớn hơn chữ số cuối cùng? Ví dụ trong nguồn: 412,521,834.

Cho $a=2\sqrt7$, $b=\sqrt6+\sqrt8$, $c=\dfrac{53}{10}$. So sánh ba số.