VTMO 2026 - Lớp 9 - Chung kết - SET 8 - Tự luyện tập

Cho $a,b,c,d$ thỏa $a+b+c+d=10$. Chứng minh rằng $ab+bc+cd+da\ne50$.

Cho $a,b,c,d$ là các số dương thỏa mãn $abcd=1$. Chứng minh:

a) $(ac+bd)(ad+bc)\ge(a+b)(c+d)$.

b) $\dfrac1{a(1+b)}+\dfrac1{b(1+c)}+\dfrac1{c(1+d)}+\dfrac1{d(1+a)}\ge2$.

Cho tứ giác $ABCD$ có $M,N$ là hai trung điểm của $BC,AD$. $AM$ cắt $BN$ tại $P$, $DM$ cắt $CN$ tại $Q$. Chứng minh $S_{PAB}+S_{QCD}=S_{MPNQ}$.

Tìm các bộ số thực $(a,b,c)$ sao cho đẳng thức dưới đây đúng với mọi số thực $x,y,z$:
$$|ax+by+cz|+|ay+bz+cx|+|az+bx+cy|=|x|+|y|+|z|.$$

Giải phương trình $\sqrt{2x+1}+\sqrt{x}=\sqrt{6x+1}$.