VTMO 2026 - Lớp 9 - Chung kết - SET 6 - Tự luyện tập

Cho tam giác $ABC$ có $AB=5$, $AC=7$, $BC=8$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

a) Tính bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp.

b) Trên hai cạnh $BC,AC$ lấy hai điểm $M,N$ sao cho $BM=5$, $AN=5$. Hai đường $AM,BN$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh $K$ nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

a) Giải phương trình $x^2+3x\sqrt{x+1}=\dfrac{27}4(x+1)$.

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ sao cho $p^2+5pq+4q^2$ là số chính phương.

a) Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}(2x+3)\sqrt{4x-1}+(2y+3)\sqrt{4y-1}=2\sqrt{(2x+3)(2y+3)},\\x+y=4xy.\end{cases}$$
b) Cho ba số thực $x,y,z\gt 1$ thỏa mãn $x+y+z=\dfrac43xyz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$P=\frac{y-2}{x^2}+\frac{z-2}{y^2}+\frac{x-2}{z^2}.$$

Giải phương trình $(\sqrt{x+24}+\sqrt x)(\sqrt{x+15}-\sqrt{x+3})=12$.

Có ba đống sỏi: đống thứ nhất có 51 viên, đống thứ hai có 49 viên và đống thứ ba có 5 viên. Mỗi lần thực hiện, cho phép gộp số viên sỏi của hai đống nào đó lại hoặc chia một đống sỏi có số chẵn viên thành hai đống có số viên bằng nhau. Tìm số viên sỏi nhỏ nhất của một đống sỏi có thể thu được bằng cách thực hiện liên tiếp các cách chia nói trên.