VTMO 2026 - Lớp 9 - Chung kết - SET 5 - Tự luyện tập

Cho hai số nguyên $a,b$ sao cho phương trình $x^2+ax+1-b=0$ có hai nghiệm nguyên khác 0. Chứng minh $a^2+b^2$ là hợp số.

Cho $p,q$ là hai số nguyên tố liên tiếp với $p\gt q\gt 2$. Chứng minh $p+q$ có ít nhất bốn ước số dương.

Giải phương trình $(1+x+x^2+x^3)(1+x+x^2+\cdots+x^9)=(1+x+\cdots+x^6)^2$.

Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $O$. Trên $AB$ lấy điểm $M$ bất kỳ khác $A,B$. Đường thẳng qua $M$ song song với $BD$ cắt $AC$ tại $N$. Hai đường thẳng $DN$ và $CM$ cắt nhau tại $E$, $DN$ cắt $AB$ tại $F$.

a) Chứng minh góc $DEC$ không đổi khi $M$ thay đổi.

b) Chứng minh $E$ nằm trên đường tròn tâm $O$, bán kính $OA$.

c) Tìm vị trí của $M$ để $MF$ lớn nhất.

Cho hình thang cân $ABCD$ với $AB\parallel CD$, $AB\lt CD$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $K$ là giao điểm hai đường chéo. Gọi $M,N$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $KAB,KCD$; $P,Q$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác $KAD,KBC$.

a) Chứng minh $MQNP$ là hình bình hành.

b) Chứng minh $KM=ON$.