Ba điểm phân biệt $A,B,C$ nằm theo thứ tự trên một đường thẳng. Dựng các tam giác đều $ABD$ và $BCE$ cùng phía đối với đường thẳng $AC$. Gọi $T$ là giao điểm của $AE$ và $DC$. Chứng minh:
Cho $100$ số tự nhiên $a_1,a_2,\ldots,a_{100}$ thỏa mãn $\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\cdots+\frac1{a_{100}}=\frac{101}{2}$. Chứng minh rằng ít nhất hai trong $100$ số trên bằng nhau.
Trên đoạn sông có nước chảy từ $A$ đến $B$, hai ca nô xuất phát cùng lúc từ $A$ đến $B$ rồi ngay lập tức quay về $A$. Từ $A$ đến $B$, vận tốc ca nô 1 là $2v$ km/h, ca nô 2 là $v$ km/h; khi ca nô 1 đến $B$ thì ca nô 2 đi được $\frac59 AB$. Từ $B$ về $A$, vận tốc ca nô 1 là $v$ km/h, ca nô 2 là $2v$ km/h. Hai ca nô về đích lệch nhau $3,2$ phút. Mỗi ca nô mất bao nhiêu phút cho cả lượt đi và về?
Phương Vy đi từ nhà mình $V$ đến nhà bà ngoại $B$. Đường đi có đoạn bằng phẳng, đoạn lên dốc và đoạn xuống dốc. Vy đi trên đường phẳng với vận tốc $5$ km/h, lên dốc $4$ km/h, xuống dốc $6$ km/h. Vy mất $1$ giờ $36$ phút từ $V$ đến $B$ và $1$ giờ $39$ phút từ $B$ về $V$. Nếu tổng đoạn đường phẳng dài $2,5$ km, quãng đường từ $V$ đến $B$ dài bao nhiêu?
a) Có thể sắp xếp các số $1,2,3,\ldots,100$ thành một hàng sao cho hai số $a,b$ kề nhau thỏa mãn $|a-b|=2$ hoặc $a\div b=2$ hoặc $b\div a=2$ hay không?
b) Cùng câu hỏi trên khi $100$ số được sắp xếp trên một vòng tròn.