VTMO 2026 - Lớp 8 - Chung kết - SET 10 - Tự luyện tập

Giải phương trình nghiệm nguyên $2^a+8b^2-3^c=283$.

Cho tứ giác $ABCD$, trên cạnh $AB$, $CD$ lấy $M,N$ sao cho $BM/BA=DN/DC=1/3$. Dựng hình bình hành $ABCE$. Gọi $I,J,O$ lần lượt là trung điểm của $AC,BD,MN$. a) Chứng minh $DE=2IJ$. b) Chứng minh $O,I,J$ thẳng hàng.

Một tàu đi từ $A$ đến $B$ với vận tốc dự định không đổi. Đi được một đoạn thì phát hiện lỗi động cơ; người lái đề xuất giảm vận tốc $25\%$ so với ban đầu. Thuyền trưởng tính nếu giảm ngay thì tàu đến trễ $1$ giờ $20$ phút, vượt giới hạn cho phép. Ông yêu cầu chạy thêm $40$ km với vận tốc ban đầu rồi mới giảm như đề xuất; kết quả tàu đến trễ $1$ giờ. Tính vận tốc dự định của tàu.

Cho hình vuông $ABCD$, hai tam giác đều $AMD$, $DCN$, với $M$ nằm ngoài hình vuông và $N$ nằm trong hình vuông. Chứng minh $B,M,N$ thẳng hàng.

Tìm tất cả các số nguyên $a,b$ sao cho $a^4+4b^4$ là số nguyên tố.