VTMO 2026 - Lớp 9 - Bán kết - SET 3 - Tự luyện tập

Trong hình, tam giác ABC vuông tại A, H thuộc BC và $AH\perp BC$, K thuộc AC, I là chân đường vuông góc từ A xuống BK. Biết $AB=2BH$, tính $\angle BIH+\angle BCA$.

Có bao nhiêu số có chín chữ số $\overline{a_1a_2\cdots a_9}$ gồm các chữ số khác nhau và khác 0, thỏa mãn: $a_1\in\{1,2\}$; $a_9\in\{8,9\}$; và với $1\lt k\lt9$, $a_k\in\{k-1,k,k+1\}$?

Có bao nhiêu số nguyên tố viết được dưới dạng $n^n+1$ và nhỏ hơn $8^{20}$?

Một số tự nhiên được gọi là số siêu chẵn nếu tất cả các chữ số của nó đều chẵn. Có bao nhiêu số siêu chẵn có bốn chữ số mà khi nhân với 3 vẫn được một số siêu chẵn?

Các số nguyên dương được xếp như hình: dòng 1 có số 1; dòng 2 có 2,3,4; dòng 3 có 5,6,7,8,9; dòng 4 có 10,11,12,13,14,15,16; tiếp tục theo quy luật đó. Số 2012 nằm ở dòng thứ mấy?

Giải phương trình: $(1+x+x^2+x^3)(1+x+x^2+\cdots+x^9)=(1+x+x^2+\cdots+x^6)^2$.

Tam giác ABC vuông tại A, có AB=24, AC=70. Lấy D trên đoạn AC sao cho hai đường tròn nội tiếp các tam giác ABD,BDC tiếp xúc với nhau. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BDC.

Trên xe buýt có hai loại ghế: ghế một chỗ và ghế hai chỗ. Một lần có 13 hành khách thì còn 9 ghế trống; một lần có 10 hành khách thì còn 6 ghế trống. Xe có bao nhiêu ghế, không tính ghế tài xế?

Đa thức bậc hai P(x) thỏa mãn P(3)=0, P(5)=2, P(7)=12. Tính $P(9)+P(11)$.

Cho x,y,z là các số nguyên dương đôi một khác nhau, thỏa mãn x+y+z=100. Tìm giá trị lớn nhất của $P=xy+2xz+3yz$.

Các số thực x,y thỏa mãn $y=\sqrt{\dfrac{2020x+y}{2020x-y}}+\sqrt{\dfrac{y+2020x}{y-2020x}}+2020$. Tính xy.

Hình vuông ABCD có cạnh AB=8 cm. M,N,P,Q lần lượt là trung điểm AB,BC,CD,DA. X,Y,Z,T lần lượt là trung điểm AM,BN,CP,DQ. Tính diện tích phần giao của hai hình vuông MNPQ và XYZT, đơn vị cm².

Hai số nguyên a,b thỏa mãn 3a+b=30. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=3a^2+b^2$.

Một tam giác có ba cạnh x+1, x+2, x+3. Chu vi lớn hơn 21 và không vượt quá 30. Mệnh đề nào biểu diễn đúng x?

Trong các tam giác có bộ ba độ dài cạnh (a,b,c) dưới đây, tam giác nào có diện tích lớn nhất?

Hình vuông ABCD có cạnh AB=2. Ba đường tròn tâm $O_1,O_2,O_3$ cùng bán kính r nằm trong hình vuông. Đường tròn $O_1$ tiếp xúc AB,AD và đường tròn $O_3$; đường tròn $O_2$ tiếp xúc AB,BC và đường tròn $O_3$; đường tròn $O_3$ tiếp xúc CD và hai đường tròn còn lại. Tính r.

Cần chọn ít nhất bao nhiêu số lẻ từ tập $\{123,124,125,126,\ldots,2014,2015,2016\}$ để chắc chắn trong các số đã chọn có hai số có tổng bằng 2016?

Ba cầu thủ đội bóng đá nữ trường Trung học Euclid trò chuyện như sau.

Ashley: “Tớ vừa nhận ra số áo của cả ba đều là số nguyên tố có hai chữ số.”
Bethany: “Tổng hai số áo của các cậu là ngày sinh của tớ trong tháng; các cậu vừa dự còn gì!”
Caitlin: “Ừ, vui thật: tổng hai số áo của các cậu cũng là ngày sinh của tớ trong tháng, sắp đến rồi đấy.”
Ashley: “Giờ tớ mới nhận ra hai cậu cùng sinh trong tháng này. Và tổng hai số áo của các cậu đúng bằng ngày hôm nay trong tháng!”

Caitlin mặc áo số mấy?

Tìm các số nguyên tố p,q thỏa mãn $2p+6q=(p-q)^3$.

Với số tự nhiên N, gọi A là kết quả làm tròn N đến hàng trăm, B là kết quả làm tròn N đến hàng chục. Biết A−B=20 và N $\lt$ 1000, có bao nhiêu giá trị N thỏa mãn?