VTMO 2026 - Lớp 6 - Chung kết - SET 1 - Tự luyện tập

Có hai mươi hình tròn nhỏ xếp thành một vòng. Điền các phần tử của $S=\{1,2,3,\ldots,20\}$ vào các hình tròn, mỗi số đúng một lần. Gọi $A$ là tổng lớn nhất của hai số kề nhau, $B$ là tổng nhỏ nhất như vậy và $C=A-B$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $C$ và chỉ ra một cách điền đạt giá trị ấy.

Có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu số trong $1,2,3,\ldots,161,162$ sao cho không có số được chọn nào gấp đôi một số được chọn khác? Giải thích đáp án.

Mười hai học sinh đi tham quan rừng Nam Cát Tiên bằng sáu xe đạp đôi. Nếu hai học sinh $A,B$ không quen nhau thì số người quen của $A$ cộng với số người quen của $B$ không nhỏ hơn $11$.

(a) Chứng minh có ít nhất một cặp học sinh quen nhau. (b) Chứng minh có thể xếp các bạn sao cho hai người trên mỗi xe đều quen nhau.

Làm rõ: chỉ đếm người quen trong nhóm mười hai học sinh, quan hệ quen biết là hai chiều, và một người quen chung được tính một lần cho $A$, một lần cho $B$.

Gọi $S$ là tập hợp các số có ba chữ số mà mỗi chữ số đều là một ước nguyên tố của số đó. Chứng minh mọi phần tử của $S$ đều chia hết cho $3$.

Trong mỗi ô của bảng vuông $24\times24$, viết một trong các số $-24,0,24$. Tính tổng trên mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo chính. Chứng minh trong các tổng ấy luôn có hai tổng bằng nhau.

An và Bình cùng đi hết $600$ m, bắt đầu và kết thúc cùng thời điểm. An chạy trong nửa thời gian đầu và đi bộ trong nửa thời gian sau. Bình chạy nửa quãng đường đầu và đi bộ nửa quãng đường sau. Cả hai đi bộ với vận tốc $5$ km/giờ; An chạy với vận tốc $10$ km/giờ. Bình chạy với vận tốc bao nhiêu?

Đầu khóa học, tỉ lệ nam và nữ của khối lớp 6 tại trung tâm Toán TITAN là $4:3$. Giữa học kỳ I có một số bạn nữ nhập học, tỉ lệ nam và nữ thành $3:5$. Đầu học kỳ II có thêm một số bạn nam nhập học, tỉ lệ thành $8:7$. Tổng số nam mới nhập học ít hơn tổng số nữ mới nhập học $2$ bạn. Không có học sinh nào nghỉ học. Hiện nay khối lớp 6 có bao nhiêu học sinh?

Cho $A=2024^{25}+2^{25}+6^{25}$. (a) $A$ có phải số chính phương không? Vì sao? (b) Tìm số dư khi chia $A$ cho $25$.

Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau sao cho tổng của hai chữ số bất kỳ là bội của chữ số còn lại? Giải thích đầy đủ.

Bảng $3\times4$ được điền sẵn như hình. Bỏ một số trong $0,2,3,4,5,7,8,10,11$, rồi dùng mỗi số còn lại đúng một lần điền vào tám ô trống để trung bình cộng trên mỗi hàng và mỗi cột đều bằng nhau. Phải bỏ số nào? Giải thích và cho một bảng điền hợp lệ.

a) Khi chia các số 14, 53 và 79 cho cùng một số tự nhiên dương $N$, ta được các số dư bằng nhau. Tìm giá trị lớn nhất của $N$.

b) Số có bốn chữ số $\overline{abab}$ có đúng sáu ước dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của số đó.

An, Bình và Châu cùng làm bài tập mỹ thuật là vẽ một bức tranh phong cảnh. Nếu vẽ một mình, An, Bình và Châu lần lượt cần 9 giờ, 10 giờ và 12 giờ để hoàn thành. Đầu tiên, An và Bình cùng vẽ trong 3 giờ rồi An nghỉ. Sau đó, Bình và Châu vẽ tiếp cho đến khi hoàn thành. Tổng thời gian hoàn thành bức tranh là bao nhiêu?

Làm rõ mô hình: mỗi bạn làm việc với năng suất không đổi; khi cùng làm, các năng suất được cộng lại.

Một lượng trái cây tươi chứa 65% nước theo khối lượng. Sau khi sấy trong 19 giờ, trái cây còn chứa 25% nước và nhẹ hơn ban đầu 15,2 kg. Cần sấy thêm bao nhiêu phút để trái cây còn chứa 5% nước? Lượng nước mất đi trong mỗi phút là như nhau.

Làm rõ mô hình: quá trình sấy chỉ làm mất nước; khối lượng chất khô của trái cây không đổi.