AMO 2021 - Lớp 10

Câu hỏi 1

Một đường kính của đường tròn có hai đầu mút $(1,4)$ và $(1,2)$. Điểm $P$ có tọa độ $(-7,9)$. Khoảng cách từ tâm đường tròn đến $P$ bằng bao nhiêu đơn vị?

1. $1$
2. $3$
3. $5$
4. $10$
5. $15$

Câu hỏi 2

Một lớp học hè có 130 học sinh: 40% học chuyên ngành lịch sử, số còn lại học nghệ thuật. Mỗi em học toàn thời gian hoặc bán thời gian. Có 28 học sinh lịch sử học bán thời gian và 32 học sinh nghệ thuật học toàn thời gian. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong nhóm lịch sử. Xác suất em đó học toàn thời gian là bao nhiêu? Chọn số thập phân gần nhất trong các phương án.

1. $0.18$
2. $0.21$
3. $0.35$
4. $0.43$
5. $0.46$

Câu hỏi 3

Biểu thức $\dfrac{x^2+15x+54}{3x+27}\cdot\dfrac{6x-3}{x^2+x-30}\cdot(x^2-25)$ xác định. Biểu thức nào sau đây tương đương với nó?

1. $x^2+16x+15$
2. $x^2-8x+15$
3. $2x^2-15x+23$
4. $2x^2+9x-5$
5. $3x^2+48x+56$

Câu hỏi 4

Một sân chơi hình tròn chứa sân bóng hình chữ nhật nội tiếp kích thước 80 m và 60 m như hình. Một người đánh rơi chìa khóa tại vị trí ngẫu nhiên trong sân chơi. Xác suất chìa khóa nằm ngoài sân bóng là bao nhiêu? Dùng mô hình thông thường: vị trí rơi phân bố đều theo diện tích sân chơi.

1. Khoảng 22%
2. Khoảng 39%
3. Khoảng 77%
4. Khoảng 36%
5. Khoảng 48%

Câu hỏi 5

Cho $f(x)=3x+2$ và $g(x)=x^{1/3}$. Tính $f[g(8)]+g[f(2)]\cdot g^{-1}(4)$, trong đó $g^{-1}$ là hàm ngược của $g$.

1. $10$
2. $80$
3. $136$
4. $164$
5. $640$

Câu hỏi 6

Một hội đồng gồm chủ tịch, phó chủ tịch, thủ quỹ và thư ký. Có 5 nữ và 10 nam ứng cử, mọi người có cơ hội trúng cử như nhau. Bốn người khác nhau đảm nhiệm bốn chức vụ. Xác suất có ít nhất một nữ trong hội đồng là bao nhiêu? Trong hình: President = chủ tịch; Vice-president = phó chủ tịch; Treasurer = thủ quỹ; Secretary = thư ký.

1. $1/39$
2. $6/39$
3. $11/39$
4. $11/13$
5. $12/13$

Câu hỏi 7

Nếu $w=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+w}}$ thì $|w|$ bằng bao nhiêu?

1. $2$
2. $\sqrt{2.5}$
3. $\sqrt3$
4. $\sqrt5$
5. $\sqrt6$

Câu hỏi 8

Ba đường tròn bán kính 1 có tâm $A,C,E$ như hình. Đường thẳng $HC$ tiếp xúc với đường tròn tâm $A$; $AF$ cắt $HC$ tại $P$. Tính $PC$. Theo các quan hệ điểm thuộc đường tròn thể hiện trong hình, mỗi tâm nằm trên hai đường tròn còn lại, và $F$ là giao điểm phía dưới của hai đường tròn tâm $C,E$.

1. $\sqrt5/2$
2. $\sqrt3/3$
3. $\sqrt6/3$
4. $\sqrt{10}/2$
5. $\sqrt5/3$

Câu hỏi 9

Số nào trong các phương án thỏa mãn $\dfrac{3x-5}{2}\ge\dfrac{x+1}{4}-2$?

1. $-1.3$
2. $-0.6$
3. $0.2$
4. $0.5$
5. $1.6$

Câu hỏi 10

Một hình trụ đứng có bán kính 5 inch và chiều cao $5\sqrt3$ inch. Hai điểm $D,E$ trên đường tròn mép trên thỏa $DE=5$ inch. Đoạn $DF$ vuông góc với mặt phẳng đáy dưới, với $F$ trên đường tròn mép dưới. Tính $\angle DFE=\alpha$ theo độ.

1. $45^\circ$
2. $30^\circ$
3. $75^\circ$
4. $40^\circ$
5. $60^\circ$

Câu hỏi 11

Hai đường thẳng $7y=kx+14$ và $x+2y=6$ song song. Tìm $k$.

1. $-7/2$
2. $7$
3. $21/2$
4. $14$
5. $35/2$

Câu hỏi 12

Giải phương trình $\log_2(x-3)-\log_2(x^2-6x+9)=2$.

1. $3.25$
2. $4.5$
3. $25$
4. $32$
5. $16$

Câu hỏi 13

Terry đánh dấu hai điểm $A,B$ trên đường thẳng mặt đất đi qua gốc cây sồi, trong đó $A$ gần cây hơn và $AB=6$ yard. Trên ảnh, các góc nâng ký hiệu 1 và 2 lần lượt bằng $60^\circ$ và $45^\circ$. Bỏ qua méo ảnh và dùng mô hình mặt đất ngang như hình, chiều cao cây bằng bao nhiêu yard?

1. $6+5\sqrt2$
2. $15-3\sqrt2$
3. $12+4\sqrt2$
4. $9+3\sqrt3$
5. $8+6\sqrt2$

Câu hỏi 14

Hàm số nào có đồ thị như hình?

1. $f(x)=x^2-2x+1$
2. $g(x)=2x^4-4x+4$
3. $h(x)=x^3-2x^2-x+2$
4. $i(x)=4x^3-8x^2-4x+32$
5. $j(x)=x^3+18x^2-48x+36$

Câu hỏi 15

Biểu thức nào bằng $\dfrac{5\sqrt3-5\sqrt2\,i}{\sqrt3+\sqrt2\,i}$, với $i^2=-1$? Hình minh họa biểu diễn mẫu số trên mặt phẳng phức; Re là trục thực và Im là trục ảo.

1. $5+6\sqrt3\,i$
2. $10-\sqrt6\,i$
3. $6+3\sqrt5\,i$
4. $5-\sqrt6\,i$
5. $1-2\sqrt6\,i$

Câu hỏi 16

Cho $f(x)=x^2-4x+5$, hai điểm $A=(5,f(5))$, $B=(5+w,f(5+w))$ nằm trên đồ thị. Khi $w$ tiến tới 0 qua các giá trị khác 0, tỉ số $r=\dfrac{f(5+w)-f(5)}{w}$ tiến tới giá trị nào?

Câu hỏi 17

Đồng hồ hiện chỉ 8 giờ 25 phút sáng. Gọi $H:M:S$ là thời điểm kim giờ và kim phút trùng nhau trong khoảng 8 đến 9 giờ sáng, với $0\le M<60$ và $0\le S<60$. Tính $60M+S$. Số giây có thể là phân số.

Câu hỏi 18

Một hình bát diện đều nằm trong hình lập phương, sáu đỉnh là tâm của sáu mặt lập phương. Gọi $V_c,V_o$ lần lượt là thể tích hình lập phương và hình bát diện. Tính $V_c/V_o$.

Câu hỏi 19

Parabol $f(x)=x^2+4x-7$ cắt đường thẳng $y=-2x$ tại $A,B$. Trung điểm của $AB$ là $M=(m,n)$. Tính $|mn|$.

Câu hỏi 20

Một tờ giấy dày 0.25 mm. Mỗi lần gấp đôi làm độ dày tăng gấp hai: sau một, hai, ba lần gấp, độ dày lần lượt là 0.50 mm, 1 mm, 2 mm. Trong thí nghiệm tưởng tượng lý tưởng này, cần ít nhất bao nhiêu lần gấp để độ dày lớn hơn 1 km? Có thể dùng $\log_2 10\approx3.322$ nếu cần.