AMO 2019 – Secondary 3 (Lớp 9)

Rút gọn $\sqrt[5]{9^{10}}+\sqrt{(-2)^6}$.

Tìm số nguyên gần $\sqrt{\dfrac{33}{0.499}-17.1}$ nhất.

$\overline{ABC}$ và $\overline{CBA}$ là các số có ba chữ số. Các chữ số $A,B,C$ khác nhau và khác $0$. Tìm tổng nhỏ nhất $\overline{ABC}+\overline{CBA}$.

Ông bà Hansen và ba người con ngồi ngẫu nhiên quanh bàn tròn. Xác suất hai con A và B ngồi cạnh nhau là $m/n$ tối giản. Tìm $m+n$. Các cách chỉ khác nhau bởi phép quay được xem là một; các cách đối xứng gương được tính là khác nhau. Trong hình, Case nghĩa là trường hợp; Case 1 và Case 2 là cùng một cách sau khi quay, còn Case 3 khác hai cách đó.

Tính $101-102+103-104+105-106+\cdots+199-200+201$.

$x$ là ước nguyên dương của $20$, $y$ là ước nguyên dương của $12$. Xác suất $(x-y)/x$ âm là $m/n$ tối giản. Tìm $m+n$. Làm rõ: chọn các ước độc lập, mỗi ước có cùng khả năng được chọn.

Chó sủa mỗi $b$ phút, mèo kêu mỗi $m$ phút, với $b,m$ là số nguyên tố, $1\le b\le10$ và $10\le m\le20$. Trong hai giờ, chúng có thể cùng kêu nhiều nhất bao nhiêu lần? Làm rõ theo ý định của lời giải gốc: cả hai bắt đầu cùng lúc tại thời điểm $0$; đếm các lần trong $0<t\le120$, không tính lần bắt đầu.

Dãy $1,2,3,\ldots,7,8,10,\ldots$ gồm các số nguyên dương không chứa chữ số $9$, theo thứ tự tăng dần. Tìm số hạng thứ $300$.

$M(x,y)$ nằm trên đường trung trực của $AB$, với $A(-6,5)$ và $B(10,-7)$. Nếu $x,y$ là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của $|x+y|$.

Nhiều nhất có bao nhiêu số nguyên liên tiếp có tổng bằng $-100$?

Một hình hộp chữ nhật có thể tích $70\text{ cm}^3$. Chiều dài, chiều rộng, chiều cao tính bằng xentimét là ba số nguyên tố khác nhau. Tính diện tích toàn phần theo xentimét vuông.

Andy và Brett xuất phát tại hai điểm đối diện trên đường chạy tròn dài $900$ feet, chạy cùng chiều như hình. Andy chạy $4.3$ feet/giây, Brett chạy $5.5$ feet/giây. Sau bao nhiêu giây họ gặp nhau lần đầu?

Trong số có năm chữ số $\overline{XYYYX}$, $X,Y$ là hai chữ số khác nhau, khác $0$. Có bao nhiêu số như vậy chia hết cho $44$?

Joe và Tracy có tổng cộng $26$ viên kẹo. Joe cho Tracy $n$ viên để sau đó Tracy có số kẹo gấp đôi số Joe có ban đầu. Có bao nhiêu giá trị khác nhau của $n$?

Đúng một trong bốn phát biểu về Betsy là sai: bạn ấy có ít nhất $122$ áp phích thể thao; ít nhất $131$; ít nhất $135$; ít nhất $139$. Betsy có nhiều nhất bao nhiêu áp phích?

Có bao nhiêu số nguyên dương có bốn chữ số và đúng ba ước dương?

Tìm số nguyên dương lớn nhất mà khi chia $298$, $348$, $873$ cho số đó thì được cùng số dư.

Jessica nói dối vào thứ Tư, thứ Năm, thứ Sáu và nói thật các ngày còn lại. Tim nói dối vào Chủ nhật, thứ Hai, thứ Ba và nói thật các ngày còn lại. Vào ngày nào cả hai có thể nói: “Ngày mai tôi sẽ nói dối”? Nhập mã ngày: thứ Hai $001$, thứ Ba $002$, thứ Tư $003$, thứ Năm $004$, thứ Sáu $005$, thứ Bảy $006$, Chủ nhật $007$.

Hai hình tròn bán kính $4$ cm và $3$ cm có phần chung gạch chéo diện tích $6\pi\text{ cm}^2$. Một phi tiêu rơi vào bên trong hợp của hai hình tròn. Xác suất trúng phần chung là $m/n$ tối giản. Tìm $m+n$. Làm rõ: điểm rơi phân bố đều trên hợp hai hình tròn.

Với số nguyên dương $n$, $n!=n(n-1)\cdots1$; ví dụ $4!=4\cdot3\cdot2\cdot1$. Tìm thừa số nguyên tố lớn nhất của $16!+18!$.