AMO 2018 – Secondary 3 (Lớp 9)

Có bao nhiêu số nguyên từ $1$ đến $50$ là bội của $3$ hoặc $5$?

Số nguyên nào gần $\sqrt[3]{215}-\sqrt[4]{80}$ nhất?

Hai điểm $(0,1)$ và $(1,2)$ là hai đỉnh kề nhau của một hình vuông. Tìm tổng các tung độ của tất cả các đỉnh có thể nằm đối diện $(0,1)$ qua đường chéo.

Sai lệch trong nguồn: đáp án được cung cấp tính thêm một hình vuông mà hai đỉnh đã cho đối diện nhau, trái với điều kiện “kề nhau”. Hãy trả lời theo điều kiện kề nhau đã in.

Ban đầu Emily và Hannah có số vé bằng nhau. Emily cho Hannah $5$ vé, rồi Hannah mua thêm $2$ vé. Cuối cùng Hannah có số vé gấp bốn lần Emily. Ban đầu Emily có bao nhiêu vé?

Có bao nhiêu số nguyên tố nằm giữa $30$ và $100$?

Các chữ cái khác nhau biểu thị các chữ số khác nhau trong phép tính $CUP+CUP=PINT$. Cả $P$ và $C$ đều khác $0$. Tìm ba chữ số cuối của giá trị nhỏ nhất có thể của $PINT$.

Hai đường chéo của tứ giác $KITE$ vuông góc với nhau. Biết $KI=5$, $IT=3\sqrt5$, $ET=10$, và khoảng cách từ $K$ đến giao điểm hai đường chéo bằng $4$. Tìm diện tích tứ giác.

Làm rõ nguồn: đề gọi đây là hình cánh diều, nhưng các độ dài không phù hợp với tên gọi đó. Theo bản lời giải, sử dụng tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

Giải phương trình: $\frac1{N-6}=\frac4{N^2-4N-8}$.

Tổng số trang ghi trên bốn trang cuối của một cuốn sách câu đố là $1186$. Tìm số trang đầu tiên trong bốn trang này.

Hai phân số $4/A$ và $5/B$ tối giản và $\frac4A+\frac5B=\frac{41}{60}$. Biết $A,B$ là các số nguyên dương, tìm $A+B$.



Chú thích hình: gcd là ước chung lớn nhất (ƯCLN).

Một dãy bắt đầu bằng $789$. Mỗi số hạng tiếp theo bằng tổng lập phương các chữ số của số hạng trước. Tìm số hạng thứ $3000$.

Cho $15$ điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng. Có thể tạo bao nhiêu tam giác khác nhau với ba đỉnh là ba trong các điểm này?

Một chuỗi ba chữ cái đối xứng đọc xuôi hay ngược đều giống nhau, chẳng hạn BQB. Có bao nhiêu chuỗi như vậy chỉ dùng các nguyên âm A, E, I, O, U?

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$, và $BD$ vuông góc với cạnh huyền $AC$. Biết $AD=8$ cm, $DC=18$ cm, tìm độ dài $BD$ theo cm.

Có bao nhiêu số chính phương nhỏ hơn $2000$ đồng thời bằng ba lần một số nguyên lẻ?

Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $|2x+5|-18\le-6$?

Tìm tổng hai số nguyên tố có tích bằng $9991$.

$N$ là số nguyên không âm và đúng ba mệnh đề sau đúng.
(1) $N$ là số nguyên tố.
(2) $N+3$ là số nguyên tố.
(3) $1<\sqrt N<9$.
(4) $N+5$ có số lượng ước dương là số lẻ.
Có bao nhiêu giá trị $N$ có thể có?



Chú thích hình: prime nghĩa là số nguyên tố.

Tích $4040\times2016$ có bao nhiêu ước nguyên dương phân biệt?

Định nghĩa $n!=n(n-1)\cdots2\cdot1$; chẳng hạn $4!=24$ và $3!=6$. Rút gọn:

$$\frac{81!+80!\times70-80!}{20\times79!+15\times79!+10\times79!+5\times79!}$$