SEAMO 2027 - Paper E - SET 04 - Tự luyện tập

Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.

Diện tích của ba đồng cỏ lần lượt là $3\frac13$, $10$ và $24$ acre; cỏ mọc với tốc độ không đổi. Đồng thứ nhất nuôi được 12 con bò trong 4 tuần; đồng thứ hai nuôi được 21 con bò trong 9 tuần. Đồng thứ ba nuôi được 36 con bò trong bao nhiêu tuần?

Giả định của bản luyện tập: các đồng có cùng lượng cỏ ban đầu và cùng tốc độ mọc cỏ không đổi trên mỗi acre; mỗi con bò ăn với cùng một tốc độ không đổi. Đề nguồn và hướng dẫn chung không nêu rõ các giả định mô hình cần thiết này.

Chỉ nhập số (có thể nhập phân số chính xác).

Biết $\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt2$, tìm $\sin\alpha\cos\alpha$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)=\dfrac{9x^2\sin^2x+4}{x\sin x}$ với $0\lt x\lt \pi$.

Trên mặt phẳng $xy$, gọi $S$ là miền gồm mọi điểm $(x,y)$ thỏa mãn $\left|x+\frac12y\right|\le10$, $|x|\le10$ và $|y|\le10$. Đường tròn lớn nhất có tâm $(0,0)$ nằm trong $S$ có diện tích $k\pi$. Tìm $k$.

Chỉ nhập số (có thể nhập phân số chính xác).

Có bao nhiêu chữ số 0 liên tiếp ở tận cùng cách viết thập phân của $80!$?

Tính giá trị của $(\sqrt7+\sqrt3)^8+(\sqrt7-\sqrt3)^8$.

Cho $f(x)=\dfrac{4^x}{4^x+2}$. Tính $f\left(\frac1{2025}\right)+f\left(\frac2{2025}\right)+f\left(\frac3{2025}\right)+\cdots+f\left(\frac{2024}{2025}\right)$.

Chỉ nhập số (có thể nhập phân số chính xác).

Trong tam giác $ABC$, $\angle A=30^\circ$, $\angle C=90^\circ$ và $AC=1$. Dựng ra phía ngoài tam giác $ABC$ các tam giác đều $BCP$, $CAQ$ và $ABR$. Gọi $T$ là giao điểm của $QR$ và $AB$. Tìm diện tích tam giác $PQT$.

Trong tam giác $ABC$, $AC=3AD$, $BC=3EC$ và $BG:GF:FD=3:1:2$, các điểm nằm như hình. Biết $[ABC]=2700\text{ cm}^2$, tìm $[EFG]$ theo $\text{cm}^2$.

Trong tam giác $ABC$, $AB=5$, $BC=8$ và $CA=11$. Điểm $D$ nằm trên $BC$ và $AD$ là phân giác của $\angle BAC$. Tìm diện tích tam giác $ACD$.

Tìm số cặp số nguyên $(m,n)$ thỏa mãn $m^3+6m^2+5m=21n^3+9n^2+3n+1$.

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ thỏa mãn $1000\le n\le1100$ và $1111^n+1222^n+1333^n+1444^n$ chia hết cho 10.

Cho $a+2b+c=4$ với $a,b,c$ là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của $ab+bc+ca$.

Tính $\dfrac3{1!+2!+3!}+\dfrac4{2!+3!+4!}+\cdots+\dfrac{22}{20!+21!+22!}$.

Trong hình, tam giác $ABC$ cân với $AB=AC$. Các điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$. Biết $CM\perp BN$, $BC=20\text{ cm}$ và $[ABC]=x\text{ cm}^2$, tìm $x$.



Chỉ nhập số (có thể nhập phân số chính xác).

Chọn ngẫu nhiên hai số thực trong khoảng từ 0 đến 1. Xác suất để hiệu giữa hai số lớn hơn $1/4$ là bao nhiêu?

Cách hiểu dùng cho câu luyện tập: hai lần chọn độc lập, phân bố đều trên (0,1), và “hiệu” là giá trị tuyệt đối của hiệu. Nguồn không nêu tường minh các giả định này.

Gọi $p,q,r$ là các nghiệm của $2x^3-5x^2-6x+2=0$. Tính $\dfrac1p+\dfrac1q+\dfrac1r$.

Cho hai cấp số cộng $(a_n)$ và $(b_n)$ với $a_1=2019$, $b_1=1$. Biết $a_{100}+b_{100}=1010$. Tính $a_1+a_2+\cdots+a_{20}+b_1+b_2+\cdots+b_{20}$.

Chỉ nhập số (có thể nhập phân số chính xác).

Trong bảng dưới đây, gọi $S_i$ là tổng các số thuộc hàng thứ $i$ hoặc cột thứ $i$ của hình vuông $i\times i$ ở góc trên bên trái, chỉ tính ô giao nhau một lần. Ví dụ $S_1=1$, $S_2=8$ và $S_3=27$. Tính $S_{21}$.

Đính chính để làm bài: hàng thứ hai của bảng gốc in 9, 10, 11 ở các cột 5, 6, 7, không phù hợp quy luật bảng nhân. Dùng quy tắc dự kiến: ô (r,c) bằng r nhân c, nên ba ô đó phải là 10, 12, 14. Hình bảng gốc được giữ nguyên; nếu không có quy tắc kéo dài thì chỉ bảng hữu hạn này chưa xác định được S21.

Tìm số số nguyên dương $k\lt 100$ sao cho $2(3^{6n})+k(2^{3n+1})-1$ chia hết cho 7 với mọi số nguyên dương $n$.