Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.
Như hình vẽ, $PQ=10$ là đường kính của đường tròn nhỏ tiếp xúc trong với đường tròn bán kính $20$ và tiếp xúc với hình vuông $ABCD$. Biết $AB=m+\sqrt n$, với $m,n$ nguyên, tìm $m+n$.
Dùng cấu hình trong hình: A và B nằm trên đường tròn lớn; PQ nằm trên đường kính qua O và Q là trung điểm CD.
Xét hai máy. Máy thứ nhất có ba bộ phận và chỉ hoạt động khi ít nhất hai bộ phận không hỏng. Một bộ phận có xác suất hỏng $3/5$; mỗi bộ phận còn lại có xác suất hỏng $p$. Máy thứ hai có xác suất hỏng $p^2-p+1$. Nếu xác suất hoạt động của hai máy bằng nhau, tìm $p$.
Giả định của bản luyện tập: việc hỏng của ba bộ phận máy thứ nhất độc lập với nhau. Đề in và ngữ cảnh bài học không nêu rõ giả định cần thiết này.
Tìm $a+b$ biết
$$\left(\frac{1/a}{1/a-1/b}-\frac{1/b}{1/a+1/b}\right)\left(\frac1a-\frac1b\right)\frac1{1/a^2+1/b^2}=\frac23.$$
Các phương án gốc: (A) $1$; (B) $2$; (C) $3$; (D) $4$; (E) $5$.
Cảnh báo dữ kiện nguồn: điều kiện đã in thiếu ràng buộc cần thiết để đáp số được xác định duy nhất. Giữ nguyên điều kiện và các phương án; giải thích có suy ra một giá trị duy nhất hay không bằng ví dụ hoặc phản ví dụ hợp lệ. Câu này được chấm thủ công.
Trong tam giác $ABC$, $\angle A=90^\circ$, $AB=AC$. Điểm $M$ là trung điểm $AC$. Đường thẳng $AD$ vuông góc $BM$ và cắt $BC$ tại $D$. Nếu $\angle AMB:\angle CMD=m:n$, tìm $m+n$.
Quy ước luyện tập: viết tỉ số m:n ở dạng tối giản với m,n là số nguyên dương. Nguồn không nêu quy ước này.
Cho hai góc nhọn $\alpha,\beta$ thỏa mãn $\sin\alpha=2021\cos(\alpha+\beta)\sin\beta$. Tìm giá trị lớn nhất của $\tan\alpha$.
Cảnh báo đáp án nguồn: đáp án đã in mâu thuẫn với phương trình đã in. Hãy giải đúng phương trình đang hiển thị, giữ nguyên dấu cộng và các phương án gốc; phần giải thích mâu thuẫn nằm sau khi trả lời.
Trong giải cầu lông, người thua mỗi trận bị loại, người thắng vào vòng sau; không có hòa. Có $100$ người chơi, trong đó $28$ người được vào thẳng vòng 2, không thi đấu vòng 1. $72$ người còn lại được ghép cặp đấu vòng 1. Giải tiếp tục đến khi chỉ còn một người bất bại. Tổng cộng có bao nhiêu trận?
