SEAMO 2027 - Paper D - SET 07 - Tự luyện tập

Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.

Gọi $S$ là bội dương nhỏ nhất của 15 gồm đúng $3k$ chữ số, trong đó có $k$ chữ số 0, $k$ chữ số 3 và $k$ chữ số 8. Tìm số dư khi chia $S$ cho 11.

Cho $x,y,z\in\mathbb R$ thỏa mãn $x+\frac1y=4$, $y+\frac1z=1$ và $z+\frac1x=\frac73$. Tính $xyz$.

Tìm $x$ biết rằng $\frac92=2+\cfrac1{0+\cfrac1{2+\frac1x}}$.

Rút gọn $\frac{2^{n+4}-2(2^n)}{2(2^{n+2})}$.

Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1000 không chia hết cho 7 và cũng không chia hết cho 5?

Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho $2^{91}+k$ chia hết cho 127.

Bội dương nhỏ nhất của 15 chỉ gồm các chữ số 1 và 0 là số nào?

Cho $Q_{n+1}=\frac1{1+\frac1{Q_n}}$ với $n=1,2,3,4,\ldots,2017,2018$ và $Q_1=1$. Tính $Q_1Q_2+Q_2Q_3+\cdots+Q_{2017}Q_{2018}$.

Trong tam giác đều $ABC$, $D$ và $E$ lần lượt nằm trên $AC$ và $BC$, với $BE=CD$. Như hình, $P$ là giao điểm của $AE$ và $BD$. Tính $\angle APD$.

Tìm số dư khi chia $\left(\underbrace{99\cdots9}_{2021}\right)^{20}-\left(\underbrace{33\cdots3}_{2021}\right)^{20}$ cho 11. Mỗi dấu ngoặc dưới chỉ 2021 chữ số.

$a,b,c,d$ là các số nguyên dương. Tính $abcd$ biết $2a+\cfrac1{b+\cfrac1{2c+\frac1d}}=\frac{89}{20}$.

Biết $\frac{c}{a+b}\lt \frac{a}{b+c}\lt \frac{b}{c+a}$, khẳng định nào sau đây đúng? Các phương án gốc: (A) $c\lt a\lt b$; (B) $b\lt c\lt a$; (C) $a\lt b\lt c$; (D) $c\lt b\lt a$; (E) Không có đáp án nào ở trên.

Lưu ý miền giá trị: đề in không nêu dấu của a, b, c. Giữ nguyên các phương án gốc, nêu miền giá trị bạn sử dụng và giải thích liệu một phương án có suy ra từ điều kiện đã in hay không. Câu này cần chấm thủ công.

Giải $2[x]=x+2\{x\}$, trong đó $[x]=\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$, còn $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ là phần lẻ.

Rút gọn $(2\sqrt3-\sqrt{10})(3\sqrt6+2\sqrt5)$.

Bốn đường tròn cùng bán kính $x$ và một hình vuông được bố trí trong đường tròn bán kính 8 như hình. Miền giá trị của $x$ là gì? Các phương án gốc: (A) $0\lt x\lt 4$; (B) $0\lt x\lt 8(\sqrt2+1)$; (C) $4-2\sqrt2\lt x\lt 4$; (D) $4-2\sqrt2\lt x\lt 8(\sqrt2+1)$; (E) $4-2\sqrt2\lt x\lt 4(\sqrt2+1)$.

Lưu ý hình học nguồn: cần kiểm tra các phương án/đáp án đã in cùng cách bố trí hình; nguồn chưa nêu đủ quy ước về tiếp xúc và chồng lấn. Ở câu tự luyện này, hãy giữ các phương án gốc, nêu cách hiểu và chứng minh các cận tương ứng; bài được chấm thủ công.

Tìm số nguyên dương $x$ sao cho $2^6+2^{10}+2^x$ là số chính phương.

Tam giác $ABC$ có diện tích 1. Với cách bố trí trong hình, $\frac{BD}{CD}=\frac{CE}{EF}=\frac{AF}{FD}=\frac12$. Tính diện tích tam giác $DEF$.

Tính $\frac{2022}{1\times2}+\frac{2022}{2\times3}+\frac{2022}{3\times4}+\cdots+\frac{2022}{2021\times2022}$.

Với số nguyên dương $n$, số dư khi chia $n^5-n$ cho 5 bằng bao nhiêu?

Tìm số nghiệm thực $(x,y,z)$ của hệ $x+y=\sqrt{4z-1}$, $y+z=\sqrt{4x-1}$, $z+x=\sqrt{4y-1}$.