SEAMO 2027 - Paper D - SET 01 - Tự luyện tập

Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.

Tìm tổng tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\dfrac{7n+15}{n-3}$ là một số nguyên.

Cho đa thức $f(x)$. Khi chia cho $x+2$ và $x+3$, số dư lần lượt là 3 và 2. Tìm đa thức dư khi chia $f(x)$ cho $(x+2)(x+3)$.

Biết $x^2-10x+1=0$, tính $x^4+\dfrac1{x^4}$.

Tìm chữ số $g$ trong phép nhân đã cho: $\overline{abcdef}\times f=\overline{gggggg}$.

Dùng quy ước chuẩn của bài toán chữ số: các chữ cái khác nhau biểu diễn các chữ số thập phân khác nhau; chữ số đầu khác 0. Nguồn không nêu rõ quy ước này.

Trong hình quạt $AOB$, dây cung $AB$ dài 18 cm. $OA$ và $OB$ tiếp xúc với cả hai đường tròn; cung $AB$ tiếp xúc với đường tròn tâm $C$. Đường tròn tâm $C$ có bán kính 6 cm. Tìm bán kính đường tròn tâm $D$, tính bằng xentimét.

Theo hình vẽ, hai đường tròn tiếp xúc ngoài, hai tâm nằm trên đường phân giác, và đường tròn lớn tiếp xúc trong với cung của hình quạt. Hình không vẽ đúng tỉ lệ.

$\alpha$ và $\beta$ thỏa mãn $\dfrac{\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2}{\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2}=\dfrac{31}{43}$ và $\dfrac1\alpha+\dfrac1\beta=\dfrac72$. Phương trình bậc hai có hai nghiệm $\alpha,\beta$ là $px^2+qx+r=0$, với $p,q,r$ nguyên, $p\gt 0$ và $\gcd(p,q,r)=1$. Tính $p+q+r$.

Nguồn in một biểu thức bậc hai; hiểu rằng biểu thức đó được đặt bằng 0. Đáp án nguồn mâu thuẫn với các điều kiện đại số đã in, như giải thích trong lời giải.

Tìm số cặp số nguyên có thứ tự $(x,y)$ thỏa mãn $xy-3x+5y=0$.

Biết $x-3$ là số nguyên dương và là ước của $3x^2-2x+9$. Tìm tổng tất cả các giá trị có thể của $x$.

Tìm giá trị lớn nhất của $n$ sao cho có đúng một số nguyên không âm $k$ thỏa mãn $\dfrac8{15}\lt \dfrac{n}{n+k}\lt \dfrac7{13}$.

Đồ thị $y=x^2+2ax+6b$ và $y=x^2+2bx+6a$ cắt nhau tại đúng một điểm trên mặt phẳng $xy$. Tìm hoành độ giao điểm đó.

Nguồn in: “Cho $a_1=3$ và xác định $a_{n+1}=\dfrac{\sqrt{3a_{n-1}}}{a_n+\sqrt3}$ với mọi số nguyên dương $n$. Tìm $a$ [không in chỉ số].” Các lựa chọn gốc là (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) Không có đáp án nào ở trên. Hãy giải thích điều gì xác định được và điều gì chưa xác định được từ thông tin đã in.

Lỗi nguồn: số hạng cần tìm không được in chỉ số, và công thức truy hồi đã in tại n=1 cần a0 nhưng không cho giá trị này. Người biên soạn không tự thêm chỉ số hoặc giá trị ban đầu. Câu này được chấm thủ công.

Trong hình, các bộ điểm $B,A,D$; $B,C,E$; $A,C,F$; $D,E,F$ thẳng hàng theo thứ tự đã vẽ. Biết $BA=BC$, $AD=AF$, $EB=ED$ và $\angle BED=x^\circ$. Tìm $x$.

Khẳng định nào về $\sqrt5+\sqrt8$ và $\sqrt4+\sqrt{10}$ là đúng?

Một giáo viên chọn 4 học sinh trong 5 nam và 4 nữ để lập đội tranh biện. Đội phải có ít nhất một nam và một nữ. Có bao nhiêu cách chọn đội khác nhau?

Hai hình vuông $ABCD$ và $A_1B_1C_1D_1$ có cạnh bằng $a$. Gọi $S$, $S_1$ lần lượt là diện tích hai miền màu đỏ. Khẳng định nào đúng?

Hiểu các đường cong là những cung một phần tư đường tròn được thể hiện trong hình: bán kính a, tâm C ở hình vuông thứ nhất; bán kính a/2, tâm tại mỗi góc ở hình vuông thứ hai, với đầu mút là trung điểm cạnh. So sánh đúng các miền đỏ. Lời giải nguồn nhầm miền màu.

Các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $pqr=11(p+q+r)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $p^2+q^2+r^2$.

Các số 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 được ghi trên các thẻ riêng rồi bỏ vào mũ. Rút ngẫu nhiên bốn thẻ không hoàn lại. Tính xác suất tích bốn số rút được là số lẻ.

Các số 2726, 4472, 5054 và 6412 có cùng số dư khi chia cho số tự nhiên có hai chữ số $m$. Tìm $m$.

Xét phương trình $\sqrt{3x^2-8x+1}+\sqrt{9x^2-24x-8}=3$. Nghiệm lớn nhất bằng $-k$ lần nghiệm nhỏ nhất. Tìm $k$.

Cho số nguyên có sáu chữ số $\overline{abcdef}$ thỏa mãn $\overline{defabc}=6\overline{abcdef}$. Tính $a+b+c+d+e+f$.