SEAMO 2027 - Paper C - SET 04 - Tự luyện tập

Bộ SEAMO tự luyện tập năm 2027; không phải đề thi chính thức năm 2027. Giữ nguyên năm của nguồn gốc. 25 câu, 90 phút; câu 1–10: 3 điểm, câu 11–20: 4 điểm, câu 21–25: 6 điểm, tổng 100 điểm. Giữ nguyên dạng trả lời và mọi ý nhỏ. Đã xác minh là quy ước biên soạn; lỗi nguồn, giả thiết cần thiết và điểm chưa chắc chắn về toán học được nêu rõ.

Biết $x$ và $y$ đều là số nguyên. Cho $100x+y=2xy$. Tìm tổng $x+y$ nhỏ nhất có thể.

Lưu ý về miền giá trị: nguồn ghi số nguyên, không ghi số nguyên dương. Xét mọi số nguyên, kể cả 0 và số nguyên âm. Đáp án nguồn ngầm dùng miền khác; lời giải sẽ giải thích sự khác biệt.

Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho $2^{69}+k$ chia hết cho 31.

Hình vẽ có một đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình vuông lớn và đi qua các đỉnh của hình vuông nhỏ. Diện tích hình vuông nhỏ là $9\text{ cm}^2$, diện tích hình vuông lớn là $x\text{ cm}^2$. Tìm $x$.

Tìm phần nguyên của $\displaystyle\frac{1}{\frac1{71}+\frac1{72}+\frac1{73}+\frac1{74}+\frac1{75}}$.

Có bao nhiêu số từ 1000 đến 1999 có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng trăm?

Tìm chữ số thứ 2025 trong chuỗi viết liên tiếp các số nguyên dương theo thứ tự: $1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9\ 10\ 11\ 12\ldots$. Khoảng trắng chỉ để phân cách, không được tính.

Số hạng đầu tiên của một dãy số là 8. Từ số hạng thứ hai: nếu số hạng trước lẻ, trừ đi 1 rồi nhân với 3; nếu số hạng trước chẵn, chia cho 2 rồi cộng 2. Tìm số hạng thứ 100.

Tính $N/D$, trong đó $$N=(2^2+4^2+\cdots+100^2)-(1^2+3^2+\cdots+99^2),$$ $$D=1+2+3+\cdots+9+10+9+\cdots+3+2+1.$$

Một ô tô đi từ thị trấn A đến B cùng lúc một xe tải nhỏ đi từ B đến A. Tỉ số vận tốc ô tô và xe tải nhỏ là $3:2$. Sau lần gặp đầu, hai xe tiếp tục đi, mỗi xe quay lại khi đến đích, rồi gặp nhau lần nữa tại điểm cách điểm gặp đầu 30 km. Hai thị trấn cách nhau bao nhiêu kilômét?

Dùng mô hình chuyển động thông thường: hai vận tốc không đổi và việc quay đầu không mất thời gian.

Trong tam giác $ABC$, điểm $D$ nằm trên $BC$, $CD=3BD$ và $E$ là trung điểm của $AD$. Đường thẳng $CE$ cắt $AB$ tại $F$ như hình. Biết diện tích tam giác $ABC$ bằng $14\text{ cm}^2$, tính tổng diện tích hai miền tô màu $AFE$ và $DEC$, theo $\text{cm}^2$.

Tích $745\times32\times20\times n$ tận cùng bằng năm chữ số 0 liên tiếp. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $n$.

Làm rõ miền giá trị: coi n là số nguyên dương, theo cách hiểu dự định của bài về chữ số 0 tận cùng. Nguồn không ghi rõ điều kiện này.

Tính $$1-\frac{1}{1+\frac{1}{1-\frac1{2020}}}.$$

Một con mèo và một con rùa ở gần chiếc bàn như hình. Khi mèo ở trên bàn và rùa dưới sàn, khoảng cách thẳng đứng giữa đỉnh đầu hai con là 170 cm. Khi đổi vị trí, khoảng cách đó là 130 cm. Chiếc bàn cao bao nhiêu xentimét?

Có thể chọn nhiều nhất bao nhiêu số khác nhau từ $1,2,3,\ldots,49,50$ sao cho tổng của hai số bất kỳ được chọn không chia hết cho 7?

Ming có tổng cộng 424 quân domino bằng gỗ và bằng nhựa. Bạn ấy cho người anh họ 40% số quân gỗ và $5/6$ số quân nhựa. Sau đó, bạn mua thêm 28 quân nhựa. Lúc này số quân nhựa bằng $16\frac23\%$ số quân gỗ còn lại. Ban đầu Ming có bao nhiêu quân domino bằng nhựa?

Trong tứ giác $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$. Diện tích các tam giác $ABE$, $AED$, $CED$ lần lượt là $64\text{ cm}^2$, $32\text{ cm}^2$, $35\text{ cm}^2$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$, theo $\text{cm}^2$.

Tìm số đường đi ngắn nhất từ A đến B trong hình. Chỉ được đi sang phải và đi lên theo các đường của lưới.

Cho $A=2^{248}$ và $B=3^{155}$. Khẳng định nào đúng?

Một con lăn hình tròn lăn quanh phía ngoài một tam giác đều, không trượt, như hình. Chu vi con lăn bằng độ dài cạnh tam giác. Trong một lượt đi trọn quanh tam giác trở về vị trí ban đầu, con lăn quay được bao nhiêu vòng?

Bốn số $A,B,C,D$ được viết thành một hàng. Trung bình cộng của A và B là 70, của B và C là 23, của C và D là 8. Tìm trung bình cộng của A và D.

Lưu ý đáp án nguồn: đáp án ngắn đã in không phù hợp với các trung bình trong đề. Hãy giải theo đúng số liệu đã in; lời giải sẽ giải thích sự khác biệt.