AMO 2027 Lớp 8 SET 3 - Tự luyện tập

Tìm hiệu dương giữa tổng các số nguyên $x$ có thể có và tổng các số nguyên $y$ có thể có thỏa mãn $x^y=81$.

**Quy ước của lời giải nguồn và bài tập này:** Liệt kê mỗi cặp nghiệm nguyên $(x,y)$ đúng một lần, rồi cộng riêng các tọa độ thứ nhất và thứ hai. Vì vậy, tọa độ lặp lại được tính một lần cho mỗi cặp chứa nó.

Có bao nhiêu số nguyên dương $N$ thỏa mãn $441-42N+N^2=64$?

Các số 411, 666 và 870 có cùng số dư khi chia cho số nguyên dương $N$. Tìm giá trị lớn nhất của $N$.

Cho $2016=2^A\times3^B\times7^C$ với $A,B,C$ là các số nguyên dương. Tính giá trị của $A^B+C$.

Ba mặt của một hình hộp chữ nhật có diện tích $42\text{ cm}^2$, $72\text{ cm}^2$ và $84\text{ cm}^2$. Tính thể tích theo $\text{cm}^3$.

Có bao nhiêu tổng khác nhau khi cộng hai số nguyên khác nhau được chọn từ $\{-102,-101,-100,\ldots,86,87,88\}$? Đếm các giá trị tổng khác nhau, không đếm số cặp.

Giả sử tích $\frac{98}{100}\times\frac{97}{99}\times\frac{96}{98}\times\cdots\times\frac35\times\frac24\times\frac13$ có dạng tối giản $\frac ab$, với $a,b$ nguyên dương. Tìm $a+b-4000$.

Trong hình, $AB$ là đường kính của đường tròn; $C,D$ nằm cùng phía đối với $AB$, theo thứ tự như hình. Biết $\angle ABC=75^\circ$ và $\angle DAC=33^\circ$, hãy tính $\angle DCA$ theo độ.

Đếm các số chính phương nằm giữa $6^4+1$ và $4^6-1$.

Có bao nhiêu vòng cổ khác nhau gồm bảy hạt cách đều nhau, có bảy màu khác nhau, mỗi màu một hạt?

**Quy ước tương đương:** Quay hoặc lật vòng cổ không tạo vòng mới; hai hình đối xứng gương được xem là cùng một vòng.

Định nghĩa $n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$. Ví dụ, $4!=4\times3\times2\times1=24$ và $3!=3\times2\times1=6$. Rút gọn
$$\frac{41!+40!}{3\times39!+2\times39!+39!}.$$
Chọn một phương án.

Có bao nhiêu số trong danh sách $\frac11,\frac12,\frac13,\ldots,\frac1{98},\frac1{99},\frac1{100}$ có biểu diễn thập phân hữu hạn? Số nguyên cũng được tính là thập phân hữu hạn.

Phân số $a/b$ tối giản, với $a,b$ là các số nguyên dương, và $\sqrt{\dfrac1{49}-\dfrac1{625}}=\dfrac ab$. Tính $a+b$.

Ba khối lập phương có thể tích $8\text{ cm}^3$, $27\text{ cm}^3$ và $64\text{ cm}^3$ được dán lại. Diện tích bề mặt nhỏ nhất của khối tạo thành là bao nhiêu $\text{cm}^2$?

**Điều kiện biên soạn bổ sung cho câu tự luyện này:** mọi đỉnh của các khối phải nằm trên cùng một lưới lập phương có bước 1 cm, và mọi cạnh phải song song với các trục của lưới. Không cắt khối, các phần trong không chồng lên nhau, các mặt có thể chỉ tiếp xúc một phần. Đề gốc không nêu điều kiện lưới này. Nhập số.

Có bao nhiêu đường đi từ vòng tròn trên cùng đến một vòng tròn bất kỳ ở hàng thứ 10 nếu chỉ được đi xuống-trái hoặc xuống-phải và không được đi qua vòng tròn màu đen?



**Quy ước hình vẽ:** Hình in chỉ thể hiện tám hàng. Tiếp tục cùng quy luật tam giác đến hàng 10, tính vòng tròn trên cùng là hàng 1. Vòng tròn cấm là vòng tròn chính giữa hàng 5. Các dãy bước đi khác nhau được tính là các đường đi khác nhau, dù cùng điểm cuối. Nhập tổng số đường đi dưới dạng số nguyên.