AMC 12B năm 2015

Giá trị của $2 - (-2)^{-2}?$ là bao nhiêu

Marie thực hiện ba nhiệm vụ tốn thời gian như nhau liên tiếp mà không nghỉ giải lao. Cô ấy bắt đầu nhiệm vụ đầu tiên lúc $1{:}00$ chiều và hoàn thành nhiệm vụ thứ hai lúc $2{:}40$ chiều. Khi nào cô ấy hoàn thành nhiệm vụ thứ ba?

Isaac đã viết ra một số nguyên hai lần và một số nguyên khác ba lần. Tổng của năm số là $100,$ và một trong các số là $28.$ Số còn lại là gì?

David, Hikmet, Jack, Marta, Rand và Todd ở trong cuộc đua người $12$ với $6$ người khác. Rand đã hoàn thành $6$ trước Hikmet. Marta xếp sau Jack $1$. David xếp sau Hikmet $2$ bậc. Jack xếp sau Todd $2$ bậc. Todd đã hoàn thành $1$ vị trí sau Rand. Marta đã về đích ở vị trí thứ $6$. Ai đã về đích ở vị trí thứ $8$?

Những chú hổ đã đánh bại Cá mập $2$ trong $3$ lần đầu tiên họ chơi. Sau đó, họ chơi $N$ nhiều lần hơn và cuối cùng Cá mập đã giành chiến thắng ít nhất $95\%$ trong tất cả các trò chơi đã chơi. Giá trị tối thiểu có thể có của $N?$ là bao nhiêu

Trở lại $1930,$ Tillie phải ghi nhớ các phép nhân của mình từ $0 \times 0$ đến $12 \times 12.$ Bảng cửu chương mà cô được giao có các hàng và cột được gắn nhãn với các thừa số và các kết quả tạo thành phần thân của bảng. Đến hàng trăm gần nhất, phần nào của các số trong bảng là số lẻ?

Một $15$-gon thông thường có $L$ đường đối xứng và góc dương nhỏ nhất mà nó có đối xứng quay là $R$ độ. $L + R?$ là gì

Giá trị của $\left(625^{\log_5 2015}\right)^{\frac14}?$ là bao nhiêu

Larry và Julius đang chơi một trò chơi, thay phiên nhau ném một quả bóng vào một cái chai đặt trên mỏm đá. Larry ném trước. Người chiến thắng là người đầu tiên đập chai ra khỏi gờ. Ở mỗi lượt, xác suất mà người chơi đánh bật cái chai khỏi gờ là $\dfrac12,$ độc lập với những gì đã xảy ra trước đó. xác suất mà Larry thắng trò chơi là bao nhiêu?

Có bao nhiêu tam giác có cạnh nguyên dương diện tích và chu vi nhỏ hơn $15$ không phải là tam giác đều, tam giác cân hay tam giác vuông?

Đường $12x + 5y = 60$ tạo thành một hình tam giác với các trục tọa độ. Tổng độ dài các đường cao của tam giác này là bao nhiêu?

Đặt $a,$ $b,$ và $c$ là ba số có một chữ số riêng biệt. Giá trị lớn nhất của tổng các nghiệm của phương trình $(x - a)(x - b)$ $+ (x - b)(x - c) = 0?$ là bao nhiêu

Tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong một vòng tròn với $\angle BAC = 70^\circ,$ $\angle ADB = 40^\circ,$ $AD = 4,$ và $BC = 6.$ $AC?$ là gì

Đường tròn bán kính $2$ có tâm tại $A.$ Một tam giác đều có cạnh $4$ có đỉnh tại $A.$ Sự khác biệt giữa diện tích của vùng nằm bên trong đường tròn nhưng nằm ngoài tam giác và diện tích của vùng nằm bên trong tam giác nhưng bên ngoài hình tròn?

Tại trường của Rachelle, điểm A được tính là $4$ điểm, điểm B $3$, điểm C $2$ và điểm D $1$. Điểm trung bình của cô trong bốn lớp cô đang theo học được tính bằng tổng số điểm chia cho $4.$ Cô chắc chắn rằng mình sẽ đạt điểm A ở cả môn Toán và Khoa học, và ít nhất điểm C ở mỗi môn Tiếng Anh và Lịch sử. Cô ấy nghĩ mình có $\dfrac16$ cơ hội đạt điểm A môn tiếng Anh và $\dfrac14$ cơ hội đạt điểm B. Trong môn Lịch sử, cô ấy có $\dfrac14$ cơ hội đạt điểm A và $\dfrac13$ cơ hội đạt điểm B, độc lập với những gì cô ấy đạt được bằng tiếng Anh. xác suất mà Rachelle sẽ nhận được điểm trung bình là ít nhất $3.5?$ là bao nhiêu

Một hình lục giác đều có các cạnh dài $6$ có tam giác cân được gắn ở mỗi cạnh. Mỗi hình tam giác này có chiều dài hai cạnh $8.$ Các hình tam giác cân được gấp lại để tạo thành một hình chóp với hình lục giác là đáy của hình chóp. thể tích của kim tự tháp là gì?

Một đồng xu không công bằng rơi vào mặt ngửa với xác suất của $\dfrac14.$ Khi tung $n$ lần, xác suất của đúng hai mặt ngửa sẽ giống như xác suất của đúng ba mặt ngửa. Giá trị của $n?$ là bao nhiêu

Đối với mọi số nguyên dương tổng hợp $n,$ hãy xác định $r(n)$ là tổng của các thừa số trong hệ số nguyên tố của $n.$ Ví dụ: $r(50) = 12$ vì hệ số nguyên tố của $50$ là $2 \cdot 5^2,$ và $2 + 5 + 5 = 12.$ Phạm vi của hàm là gì $r,$ $\{r(n) : n \text{ is a composite positive integer}\}?$

Trong $\triangle ABC,$ $\angle C = 90^\circ$ và $AB = 12.$ Hình vuông $ABXY$ và $ACWZ$ được dựng bên ngoài tam giác. Các điểm $X,$ $Y,$ $Z,$ và $W$ nằm trên một đường tròn. chu vi của tam giác là gì?

Với mọi số nguyên dương $n,$ đặt $\operatorname{mod}_5(n)$ là số dư thu được khi $n$ được chia cho $5.$ Xác định hàm $f : \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ $\times \{0, 1, 2, 3, 4\}$ $\to \{0, 1, 2, 3, 4\}$ theo cách đệ quy như sau:

$$
\tiny f(i, j) = \begin{cases} \operatorname{mod}_5(j + 1) & \text{if } i = 0 \text{ and } 0 \le j \le 4, \\ f(i - 1, 1) & \text{if } i \ge 1 \text{ and } j = 0, \text{ and} \\ f(i - 1, f(i, j - 1)) & \text{if } i \ge 1 \text{ and } 1 \le j \le 4. \end{cases}
$$

$f(2015, 2)?$ là gì