AMO 2027 Lớp 10-12 SET 2 - Tự luyện tập

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: $$\sqrt{781-X}+\sqrt{X-59}.$$

Nhập một số nguyên, không kèm đơn vị.

Đồ thị $f(x)=x^2+bx+c$ là một parabol mở lên, có đỉnh cao hơn trục hoành 5 đơn vị và ở bên phải trục tung 7 đơn vị. Cộng hàm bậc nhất $g(x)=mx+10$ vào hàm ban đầu để được $h(x)=f(x)+g(x)$. Tìm hoành độ đỉnh nếu đồ thị $h(x)$ chỉ tiếp xúc với nửa trục hoành dương.

Chọn một đáp án.

Một lớp có 40 học sinh gồm 20 nam và 20 nữ. Khi được chọn chơi bóng đá hoặc cờ vua, 5 nữ và 12 nam chọn bóng đá, các bạn còn lại chọn cờ vua. Nếu các bạn tham gia cờ vua có khả năng thắng như nhau, xác suất người thắng giải cờ vua là nữ bằng bao nhiêu?

Chọn một đáp án.

Nếu $$\frac{3+\cot78^\circ\cot18^\circ}{\cot78^\circ+\cot18^\circ}=\frac{\tan n+\sin m}{\cos m},$$ trong đó $n,m$ tính bằng độ và đều là góc nhọn, hãy tìm tích $mn$.

**Làm rõ khi biên soạn.** Xác định xem dữ kiện có buộc tích là duy nhất hay không. Nhập tích nếu duy nhất; nếu không, nhập NOT UNIQUE. Không giả sử thêm quan hệ nào chưa được nêu giữa hai góc.

Dùng định dạng trả lời đã nêu ở trên.

Vẽ 10 đường thẳng trên một mặt phẳng. Tìm số đoạn thẳng phân biệt lớn nhất có thể xác định từ 10 đường thẳng đó. Chú ý: hai đầu mút của đoạn phải nằm trên một trong 10 đường thẳng đã vẽ, và $AB$ được coi là cùng đoạn với $BA$.

**Làm rõ khi biên soạn.** Đếm các đoạn có hai đầu mút phân biệt là giao điểm của các đường đã vẽ và toàn bộ đoạn nằm trên một đường trong số đó. Mười đường thẳng phân biệt; được chọn cách bố trí để số đoạn lớn nhất.

Nhập một số nguyên, không kèm đơn vị.

Một người gửi 100 đô la mỗi tháng vào khoản gửi định kỳ có lãi nhập gốc hằng tháng, với mức tăng 10% mỗi năm. Tìm tổng giá trị khoản gửi sau 4 năm, tức ngay sau khi đóng khoản thứ 48. (Cho $1.1^{1/12}=1.00797$.)

**Làm rõ khi biên soạn.** Dùng hệ số tăng trưởng hiệu dụng năm là 1,1 và các kỳ tháng bằng nhau. Tính giá trị ngay sau lần gửi thứ 48, khi khoản này chưa sinh lãi. Chọn số tiền được liệt kê gần nhất; các lựa chọn không nhất thiết chứa tổng chính xác đã làm tròn đúng. Số thập phân đã cho là số làm tròn.

Chọn một đáp án.

Tìm tích của tất cả các số nguyên $n\ge1$ sao cho $\frac{n^3+9}{n^2+13}$ là số nguyên.

Chọn một đáp án.

Trong hình bên, nếu giá trị của hai đường tròn lớn hơn là 72 và 18, hãy tìm bán kính đường tròn nhỏ nhất. Các đường tròn đôi một tiếp xúc ngoài và cùng tiếp xúc với tia chung gốc $B$.



**Làm rõ khi biên soạn.** Hiểu hai giá trị chưa được gọi tên 72 và 18 là bán kính của hai đường tròn lớn hơn. Dùng cấu hình tiếp xúc ngoài cùng phía tia như hình, với đường tròn nhỏ nhất nằm trong khe giữa hai đường tròn kia.

Chọn một đáp án.

Tìm $abc$ nếu $a,b,c$ là ba số nguyên tố phân biệt và $$a+b+c=92\quad\text{và}\quad ab+bc+ca=2201.$$

Nhập một số nguyên, không kèm đơn vị.

Trong hình bên, đoạn $DE$ vuông góc với đường kính $BC$ của đường tròn và cắt $BC$ tại $P$. Tìm độ dài đoạn thẳng đó nếu bán kính bằng 10 và $PB=2$.



**Làm rõ khi biên soạn.** Đoạn cần tìm là toàn bộ dây DE; P là điểm trên đường kính BC nằm trong đường tròn như hình.

Nhập một số nguyên, không kèm đơn vị.

Nếu $a>b>1$ và $\frac1{\log_a b}+\frac1{\log_b a}=\sqrt{293}$, hãy tìm giá trị của $$\frac1{\log_{ab}b}-\frac1{\log_{ab}a}.$$

Chọn một đáp án.

Tìm giá trị của $$X=\sum_{n=1}^{7}\tan^2\frac{n\pi}{16}.$$

Nhập một số nguyên, không kèm đơn vị.

Nếu $a,b$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $a+b$ biết $$\frac{a^3-b^3}{(a-b)^3}=\frac{133}{3}.$$

Nhập một số nguyên, không kèm đơn vị.

Nếu $a,b,c\in\mathbb R$, $a+b+c=36$ và $\frac1a+\frac1b+\frac1c=39$, hãy tính $$\frac ab+\frac bc+\frac ca+\frac ac+\frac cb+\frac ba.$$

Nhập một số nguyên, không kèm đơn vị.

Nếu $N=5!\,8!\,9!$, hãy tìm số ước của $N$ là các số chính phương.

Chọn một đáp án.