AMO 2027 Lớp 9-11 SET 4 - Tự luyện tập

Tìm $MN-M-N$ nếu đẳng thức sau đúng với mọi số thực $x$ làm các mẫu số khác 0: $$\frac{52x+73}{14x^2+83x+33}=\frac{M}{7x+3}+\frac{N}{2x+11}.$$ Trong đó $M,N$ là các hằng số.

Chọn một đáp án.

Cho $h(x)=2+\sqrt{x}$ và $f(h(x))=7+5\sqrt{x}+x$ với $x\ge0$. Tính $f(3)$.

Chọn một đáp án.

Các số nguyên dương được xếp mỗi hàng năm số như hình, với chiều xếp đổi luân phiên giữa các hàng. Tổng số thứ tự của hàng và cột chứa 2019 là bao nhiêu? Hàng và cột được đánh số bắt đầu từ 1.



Chọn một đáp án.

Tìm tập các bộ bốn số nguyên dương có thứ tự $[w,x,y,z]$ sao cho $$w+x+y+z=21.$$

Làm rõ khi biên soạn: đề nguồn hỏi tập hợp, còn đáp án nguồn cho số lượng. Trong ô trả lời, nhập số bộ có thứ tự như vậy. Lời giải cũng mô tả đầy đủ tập hợp.

Nhập một số nguyên dương, không kèm đơn vị.

Có bao nhiêu số nguyên dương có bốn chữ số và có đúng ba ước dương?

Nhập một số nguyên dương, không kèm đơn vị.

Một con dế leo cầu thang bằng cách mỗi lần nhảy lên 1 bậc hoặc 2 bậc. Có bao nhiêu cách khác nhau để nó leo hết cầu thang 9 bậc? Ví dụ, cầu thang 3 bậc có đúng ba cách: $1+1+1$, $1+2$ và $2+1$.

Nhập một số nguyên dương, không kèm đơn vị.

Samuel đạp xe với vận tốc không đổi trên con đường thẳng từ $A$ đến $B$. Khi đi được $\frac6{19}$ quãng đường từ $A$ đến $B$, cậu nghe thấy ô tô từ phía sau $A$ tiến tới với vận tốc $418$ km/h. Nếu lập tức quay lại, cậu gặp ô tô tại $A$; nếu tiếp tục đi về $B$, ô tô đuổi kịp cậu tại $B$. Vận tốc xe đạp của Samuel bằng bao nhiêu km/h?

Dùng mô hình lí tưởng của nguồn: ô tô giữ nguyên vận tốc, Samuel đi với cùng độ lớn vận tốc ở cả hai chiều và không mất thời gian quay đầu.

Nhập một số nguyên dương, không kèm đơn vị.

Trong tam giác $ABC$, điểm $D$ nằm trên $AB$ sao cho $BD=3AD$, và điểm $E$ nằm trên $AC$ sao cho $DE\parallel BC$. Điểm $F$ nằm trên đường thẳng $DE$ như hình, với $AB\parallel CF$. Tính $EF$ nếu $BC=16$.



Chọn một đáp án.

Sắp xếp lại các chữ số của 2018 để tạo tất cả các số nguyên có bốn chữ số, mỗi chữ số dùng đúng một lần. (0128 chỉ là số có ba chữ số.) Tìm ba chữ số đầu tiên của tổng tất cả các số đó.

Nhập một số nguyên dương, không kèm đơn vị.

Bảy giải thưởng phân biệt được trao cho bảy học sinh, mỗi em một giải và mỗi giải có một người nhận đúng. Giả sử tất cả $7!$ cách phân phát đều có khả năng như nhau. Xác suất để mọi giải đều được trao sai người là $\frac ab$ ở dạng tối giản. Tính $a+b$. Biết các xác suất tương ứng với năm và sáu giải lần lượt là $\frac{11}{30}$ và $\frac{53}{144}$.

Nhập một số nguyên dương, không kèm đơn vị.

Quan sát các hình dưới đây. Gọi $M$ là tổng số chấm trong các hình từ 1 đến 37, kể cả hai đầu. Tính $\frac{M}{37}-37$.

Tiếp tục mẫu hình thoi bằng cách thêm một lớp hình thoi đầy đủ ở ngoài sau mỗi bước, giữ nguyên khoảng cách giữa các chấm. Quy ước này xác định cách tiếp tục dự định của dãy hình hữu hạn.



Nhập một số nguyên dương, không kèm đơn vị.

Một con kiến đang ở $(7,10)$ và tổ kiến ở $(19,25)$. Quãng đường ngắn nhất để kiến về tổ là bao nhiêu nếu nó phải chạm vào trục $x$, nơi đường được rải dọc theo toàn bộ trục? Kiến có thể chạm trục tại bất kỳ điểm nào.

Nhập một số nguyên dương, không kèm đơn vị.

Một hình hộp chữ nhật có thể tích $70\text{ cm}^3$. Chiều dài, chiều rộng và chiều cao, tính bằng centimét, là ba số nguyên tố khác nhau. Diện tích toàn phần của hình hộp bằng bao nhiêu $\text{cm}^2$?

Chọn một đáp án.

Một dãy số có số hạng đầu là 457. Mỗi số hạng tiếp theo bằng tổng lập phương các chữ số thập phân của số hạng liền trước. Tìm số hạng thứ 2021.

Chọn một đáp án.

Jessica nói dối vào thứ Tư, thứ Năm và thứ Sáu, còn nói thật vào các ngày khác. Tim nói dối vào Chủ nhật, thứ Hai và thứ Ba, còn nói thật vào các ngày khác. Vào ngày nào cả hai đều có thể nói: “Ngày mai, tôi sẽ nói dối”?

Nhập mã ngày: thứ Hai = 001, thứ Ba = 002, thứ Tư = 003, thứ Năm = 004, thứ Sáu = 005, thứ Bảy = 006, Chủ nhật = 007. Đề giấy yêu cầu tô chữ số; ở đây nhập mã (có thể bỏ các số 0 đầu).

Nhập một số nguyên dương, không kèm đơn vị.