Tìm giá trị của số nguyên dương $x$. $$x=\sqrt{5+\sqrt{13+\sqrt{5+\sqrt{13+\cdots}}}}.$$ Biểu thức tiếp tục với 5 và 13 xen kẽ, dùng các căn bậc hai không âm.
Tứ giác ngoại tiếp $ABCD$ là một tứ giác lồi có các cạnh tiếp xúc với một đường tròn. Biết $AD=16$, $BC=8$ và bán kính đường tròn bằng 4, hãy tính diện tích tứ giác.
Có tất cả bao nhiêu cách điền vào các ô trống dưới đây để số có bốn chữ số nhận được là bội của 11? $$9\ \square\ 5\ \square.$$ Mỗi ô chứa một chữ số; hai chữ số có thể giống nhau.
Sáu bạn nam có chiều cao đôi một khác nhau được xếp thành 2 hàng, mỗi hàng 3 bạn. Mỗi bạn cao hơn những bạn ở phía trước mình và cao hơn những bạn ở bên trái mình. Có bao nhiêu cách sắp xếp?
Cách hiểu dùng trong nguồn: chiều cao tăng từ trước ra sau trong từng cột và tăng từ trái sang phải trong từng hàng.
Các chữ cái khác nhau biểu thị các chữ số khác nhau trong phép cộng thay chữ bằng số ở hình. Tìm ba chữ số cuối của giá trị nhỏ nhất có thể của $PINT$. Giả sử cả $P$ và $C$ đều khác 0. Giữ chữ số 0 ở đầu nếu nó thuộc ba chữ số cuối.
Ông bà Hansen và ba người con ngồi quanh một bàn tròn. Gọi $m/n$ là xác suất hai người con A và B ngồi cạnh nhau. Nếu $\operatorname{HCF}(m,n)=1$ (ước chung lớn nhất bằng 1), hãy tìm $m+n$. Hai cách xếp chỉ khác nhau do quay bàn được coi là giống nhau, nhưng các cách đối xứng gương có thể khác nhau, như hình nguồn. Giả sử mọi cách xếp quanh bàn có khả năng xảy ra như nhau.
Hai điểm $(0,1)$ và $(1,2)$ là tọa độ hai đỉnh kề nhau của một hình vuông. Tìm tổng các tung độ của những điểm đối diện theo đường chéo với $(0,1)$ trong hình vuông.
Làm rõ cách diễn đạt của nguồn: xét cả hai hình vuông có cạnh chung này, mỗi hình ở một phía của đoạn thẳng, rồi cộng hai tung độ tìm được.
Các số nguyên từ 1 đến 10 được đặt vào 10 hình tròn trong hình, mỗi hình tròn chứa một số. Mỗi số ở 3 hàng trên bằng hiệu dương của hai số trong hai hình tròn ngay bên dưới nó. Tìm tổng A và B. Mỗi số nguyên được dùng đúng một lần.
