AMO 2027 Lớp 8-9 SET 23 - Tự luyện tập

Cho $h(x)=2+\sqrt{x}$ và $f(h(x))=7+5\sqrt{x}+x$. Tính $f(3)$.

Một khối trụ kim loại được đúc lại thành khối nón có bán kính gấp đôi bán kính khối trụ. Khối trụ cao 12 m. Khối nón mới cao bao nhiêu? Giả sử không hao hụt kim loại.

Mỗi số hạng sau số đầu bằng tổng lập phương các chữ số của số hạng trước. Số hạng đầu là 244. Tìm số hạng thứ 2021. Nhập số nguyên.

Tiếp tục các hàng căn phải như hình: hàng $n$ có $n$ số nguyên dương liên tiếp theo thứ tự giảm dần, mỗi số dùng một lần. Số nào nằm ngay dưới 526, cùng cột dọc?



Nhập số nguyên.

Các số 411, 666 và 870 có cùng số dư khi chia cho số nguyên dương $N$. Tìm giá trị lớn nhất của $N$.

Trong hình, khoảng cách giữa hai chấm kề nhau theo phương ngang hoặc dọc là 1 đơn vị. Tính diện tích tam giác. Nhập giá trị số theo đơn vị diện tích.

Số bán nguyên tố là số $p_1p_2$, trong đó $p_1,p_2$ là các số nguyên tố và có thể bằng nhau. Gieo ba xúc xắc chuẩn sáu mặt công bằng, độc lập. Xác suất tổng số chấm là số bán nguyên tố bằng phân số tối giản $a/b$, với $a,b>0$. Tính $a+b$.

Năm số hạng đầu của một dãy là $5,9,16,28,47$. Tìm tổng số hạng thứ 8 và thứ 7. Trong bài tự luyện này, tiếp tục theo quy luật sai phân bậc ba không đổi.

Các hằng số $M,N$ thỏa đồng nhất thức
$$\frac{52x+73}{14x^2+83x+33}=\frac{M}{7x+3}+\frac{N}{2x+11}.$$
Tính $MN-M-N$. Đồng nhất thức đúng với mọi $x$ thực làm các mẫu khác 0.

Có bao nhiêu từ gồm 4 chữ cái khác nhau được tạo từ các chữ cái của MATHS? “Từ” là mọi cách xếp có thứ tự, có nghĩa hoặc không; mỗi chữ cái được dùng nhiều nhất một lần.

Ban đầu Jacob có 5 chiếc bánh quy thì Sheila có 3 chiếc. Sau khi Jacob cho Sheila 1 chiếc, số bánh của Jacob và Sheila có tỉ số $3:2$. Ban đầu Jacob có bao nhiêu chiếc bánh?

Có bao nhiêu số nguyên dương $N$ thỏa mãn $441-42N+N^2=64$?

Tích của ít nhất hai số nguyên liên tiếp là một số đối xứng sáu chữ số bắt đầu bằng 47. Tìm tổng các số nguyên đó. Số đối xứng đọc xuôi và ngược như nhau. Dùng các số nguyên dương liên tiếp, theo ý định của nguồn.

Trong hình, tam giác $ABC$ vuông tại $C$, $AD=4$, $CD=6$. Tính $DB$, biết $CD\perp AB$ và $D$ nằm trên $AB$.

Năm hàng đầu của một quy luật tổng ba bình phương được cho dưới đây. Tính $B+D-A-C$.
$$4^2+12^2+6^2=14^2$$
$$4^2+20^2+22^2=30^2$$
$$4^2+28^2+46^2=54^2$$
$$4^2+36^2+78^2=86^2$$
$$A^2+B^2+C^2=D^2$$
Tiếp tục với các cơ số dương: cột đầu không đổi, cột hai có sai phân bậc một không đổi, cột ba và bốn có sai phân bậc hai không đổi.