AMO 2027 Lớp 8-9 SET 19 - Tự luyện tập

Các số nguyên dương được xếp thành từng hàng, mỗi hàng năm số, như hình. Tổng số thứ tự hàng và số thứ tự cột chứa số 2017 bằng bao nhiêu?

Cho đa thức bậc hai $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(1)=1$, $f(2)=\frac12$ và $f(3)=\frac13$. Tìm $f(4)$.

Chữ số 0 xuất hiện bao nhiêu lần khi viết các số nguyên từ 1000 đến 2021, kể cả hai đầu mút? Đếm từng lần xuất hiện, kể cả khi một số có nhiều chữ số 0. Chỉ nhập số nguyên.

Tìm tổng các chữ số của tích $2017\times99999$.

Các phương án in trong nguồn: A. 201697983; B. 36; C. 201700000; D. 35; E. 10.

**Cách trả lời:** Bản tự luyện này dùng ô nhập số. Nhập chính tổng các chữ số, không nhập chữ cái phương án; các phương án gốc được giữ lại để đối chiếu.

Trong hình, $AB$ là đường kính của đường tròn; $C,D$ nằm cùng phía đối với $AB$, theo thứ tự như hình. Biết $\angle ABC=75^\circ$ và $\angle DAC=33^\circ$, hãy tính $\angle DCA$ theo độ.

Tìm số nguyên $X$ thỏa mãn tất cả các điều kiện:
- $X<5000$.
- Các chữ số từ trái sang phải tăng nghiêm ngặt.
- $X-3$ là một số lập phương.
- $X$ không chia hết cho 8 và không phải số nguyên tố.

**Quy ước cần thiết cho bản tự luyện này:** $X$ dương và có ít nhất hai chữ số. Nguồn gốc không nêu giới hạn về số chữ số. Chỉ nhập số nguyên.

Betsy sưu tầm áp phích thể thao. Đúng một trong các khẳng định sau là sai:
- Betsy có ít nhất 11 áp phích thể thao.
- Betsy có ít nhất 20 áp phích thể thao.
- Betsy có ít nhất 24 áp phích thể thao.
- Betsy có ít nhất 28 áp phích thể thao.

Số áp phích lớn nhất có thể có trong bộ sưu tập của Betsy là bao nhiêu? Chỉ nhập số nguyên.

Trong không gian Euclid ba chiều, cho hai vectơ $4\hat i+9\hat j-13\hat k$ và $7\hat i+6\hat k+5\hat j$. Tìm tích vô hướng của hai vectơ.

Có bao nhiêu số nguyên từ 4002 đến 4499, kể cả hai đầu mút, có tích hai chữ số ở giữa lớn hơn 6? Chỉ nhập số nguyên.

Có bao nhiêu số nguyên dương có ba chữ số và đúng ba ước dương? Chỉ nhập số nguyên.

Tìm hiệu dương giữa tổng các số nguyên $x$ có thể có và tổng các số nguyên $y$ có thể có thỏa mãn $x^y=81$.

**Quy ước của lời giải nguồn và bài tập này:** Liệt kê mỗi cặp nghiệm nguyên $(x,y)$ đúng một lần, rồi cộng riêng các tọa độ thứ nhất và thứ hai. Vì vậy, tọa độ lặp lại được tính một lần cho mỗi cặp chứa nó.

Bảy đường thẳng có thể chia miền bên trong một đường tròn thành nhiều nhất bao nhiêu miền?

Tính $(75\times5\div3)+(75\div5\times3)$.

Cho mười điểm, không có ba điểm nào thẳng hàng. Có thể tạo được bao nhiêu tam giác khác nhau bằng cách chọn ba trong các điểm đó làm đỉnh?

Một hình thoi có cạnh dài 17 và một đường chéo dài 16. Tìm độ dài đường chéo còn lại. (Cụm “có độ dài 17” trong nguồn được hiểu là độ dài cạnh, theo lời giải của nguồn.)