AMC 12B năm 2002

Số học trung bình cộng của chín số trong tập hợp $\{9,$ $99,$ $999,$ $9999,$ $\ldots,$ $999999999\}$ là một số $9$-chữ số $M,$ tất cả đều có các chữ số là khác biệt. Số $M$ không chứa chữ số

Giá trị của $$
\begin{aligned} &(3x-2)(4x+1) \\ &\quad {}-(3x-2)4x+1 \end{aligned}
$$ là bao nhiêu khi $x=4?$

Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ là $n^2-3n+2$ là số nguyên tố?

Đặt $n$ là số nguyên dương sao cho $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17+\dfrac1n$ là số nguyên. Phát biểu nào sau đây là không đúng:

Đặt $v,$ $w,$ $x,$ $y,$ và $z$ là số đo độ của năm góc của một hình ngũ giác. Giả sử $v\lt w\lt x\lt y\lt z$ và $v,$ $w,$ $x,$ $y,$ $z$ tạo thành cấp số cộng. Tìm giá trị của $x.$

Giả sử rằng $a$ và $b$ là các số thực khác 0 và phương trình $x^2+ax+b=0$ có nghiệm $a$ và $b.$ Khi đó cặp $(a,b)$ là

Tích của ba số nguyên dương liên tiếp là $8$ nhân với tổng của chúng. Tổng bình phương của chúng là bao nhiêu?

Giả sử tháng 7 năm $N$ có năm ngày Thứ Hai. Điều nào sau đây phải xảy ra năm lần vào tháng 8 năm $N?$ (Lưu ý: Cả hai tháng đều có $31$ ngày.)

Nếu $a,$ $b,$ $c,$ $d$ là các số thực dương sao cho $a,$ $b,$ $c,$ $d$ tạo thành cấp số cộng và $a,$ $b,$ $d$ tạo thành cấp số nhân, thì $\dfrac{a}{d}$ là

Có bao nhiêu số nguyên khác nhau có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của ba phần tử phân biệt của tập hợp $\{1,4,7,10,13,16,19\}?$

Các số nguyên dương $A,$ $B,$ $A-B,$ và $A+B$ đều là số nguyên tố. Tổng của bốn số nguyên tố này là

Với bao nhiêu số nguyên $n$ thì $$
\dfrac{n}{20-n}
$$ là bình phương của một số nguyên?

Tổng của $18$ số nguyên dương liên tiếp là số chính phương. Giá trị nhỏ nhất có thể có của tổng này là

Bốn đường tròn phân biệt được vẽ trong một mặt phẳng. Số điểm tối đa mà tại đó ít nhất hai đường tròn giao nhau là bao nhiêu?

Có bao nhiêu số có bốn chữ số $N$ có tính chất là số có ba chữ số bằng cách bỏ chữ số ngoài cùng bên trái là một phần chín của $N?$

Juan tung một con súc sắc bát diện đều đặn được đánh số từ $1$ đến $8.$ Sau đó, Amal tung một con súc sắc sáu mặt đều đặn. xác suất mà tích của hai cuộn là bội số của $3?$

Bãi cỏ của Andy có diện tích diện tích gấp đôi bãi cỏ của Beth và gấp ba lần diện tích bãi cỏ của Carlos. Máy cắt cỏ của Carlos cắt nhanh bằng một nửa máy cắt cỏ của Beth và nhanh bằng một phần ba máy cắt cỏ của Andy. Nếu tất cả họ bắt đầu cắt cỏ cùng lúc thì ai sẽ về đích trước?

Một điểm $P$ được chọn ngẫu nhiên từ vùng hình chữ nhật có các đỉnh $(0,0),$ $(2,0),$ $(2,1),$ $(0,1).$ xác suất mà $P$ gần gốc tọa độ hơn so với điểm $(3,1)?$

Nếu $a,$ $b,$ và $c$ là các số thực dương sao cho $a(b+c)=152,$ $b(c+a)=162,$ và $c(a+b)=170,$ thì $abc$ là

Cho $\triangle XOY$ là tam giác vuông với $m\angle XOY=90^\circ.$ Đặt $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của hai chân $OX$ và $OY,$. Cho rằng $XN=19$ và $YM=22,$ tìm $XY.$