AMC 12 năm 2000

Vào năm $2001,$ Hoa Kỳ sẽ đăng cai Olympic Toán học Quốc tế. Đặt $I,$ $M,$ và $O$ là các số nguyên dương riêng biệt sao cho tích $I \cdot M \cdot O = 2001.$ Giá trị lớn nhất có thể có của tổng $I + M + O?$ là bao nhiêu

$2000(2000^{2000})?$ là gì

Mỗi ngày, Jenny ăn $20\%$ số đậu thạch có trong lọ của cô ấy vào đầu ngày hôm đó. Vào cuối ngày thứ hai, $32$ vẫn còn. Hỏi ban đầu trong lọ có bao nhiêu viên kẹo dẻo?

Dãy số Fibonacci $1,$ $1,$ $2,$ $3,$ $5,$ $8,$ $13,$ $21,$ $\ldots$ bắt đầu bằng hai $1$s và mỗi số hạng sau đó là tổng của hai số hạng liền trước nó. Chữ số nào trong mười chữ số xuất hiện cuối cùng ở vị trí đơn vị của một số trong dãy Fibonacci?

Nếu $|x - 2| = p,$ trong đó $x \lt 2,$ thì $x - p?$ là gì

Hai số nguyên tố khác nhau giữa $4$ và $18$ được chọn. Khi trừ tổng của chúng khỏi tích của chúng, có thể thu được số nào sau đây?

Có bao nhiêu số nguyên dương $b$ có tính chất $\log_b 729$ là số nguyên dương?

Các hình $0,$ $1,$ $2,$ và $3$ lần lượt bao gồm $1,$ $5,$ $13,$ và $25$ các ô vuông đơn vị không chồng lên nhau. Nếu mô hình này được tiếp tục thì sẽ có bao nhiêu ô vuông đơn vị không chồng lên nhau trong hình $100?$

Bà Walter làm bài kiểm tra trong một lớp toán có năm học sinh. Cô nhập điểm theo thứ tự ngẫu nhiên vào một bảng tính, bảng tính này sẽ tính lại điểm trung bình của lớp sau mỗi lần nhập điểm. Bà Walter nhận thấy rằng sau mỗi lần nhập điểm, điểm trung bình luôn là số nguyên. Điểm số (được liệt kê theo thứ tự tăng dần) là $71,$ $76,$ $80,$ $82,$ và $91.$ Điểm cuối cùng bà Walter nhập là bao nhiêu?

Điểm $P = (1, 2, 3)$ được phản ánh trong mặt phẳng $xy$, sau đó ảnh $Q$ của nó được quay bởi $180^\circ$ quanh trục $x$ để tạo ra $R,$ và cuối cùng, $R$ được dịch bởi đơn vị $5$ theo hướng dương $y$ để tạo ra $S.$ Tọa độ của $S?$ là gì

Hai số thực khác 0, $a$ và $b,$ thỏa mãn $ab = a - b.$ Tìm giá trị có thể có của $$
\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - ab.
$$

Đặt $A,$ $M,$ và $C$ là các số nguyên không âm sao cho $A + M + C = 12.$ Giá trị tối đa của $$
\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}
$$ là bao nhiêu

Một buổi sáng, mỗi thành viên trong gia đình Angela uống hỗn hợp $8$-ounce cà phê với sữa. Lượng cà phê và sữa thay đổi tùy theo từng cốc, nhưng không bao giờ bằng không. Angela uống một phần tư tổng lượng sữa và một phần sáu tổng lượng cà phê. Có bao nhiêu người trong gia đình?

Khi trung bình cộng, trung vị và chế độ của danh sách $$
10, 2, 5, 2, 4, 2, x
$$

được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, chúng tạo thành một cấp số cộng không cố định. Tổng của tất cả các giá trị thực có thể có của $x?$ là bao nhiêu

Đặt $f$ là một hàm trong đó $f\!\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.$ Tìm tổng của tất cả các giá trị của $z$ mà $f(3z) = 7.$

Một bàn cờ gồm $13$ hàng và $17$ cột có một số được viết trong mỗi ô vuông, bắt đầu từ góc trên bên trái, sao cho hàng đầu tiên được đánh số $1,$ $2,$ $\ldots,$ $17,$ hàng thứ hai $18,$ $19,$ $\ldots,$ $34,$, v.v. xuống bảng. Nếu bảng được đánh số lại sao cho cột bên trái, từ trên xuống dưới, là $1,$ $2,$ $\ldots,$ $13,$ cột thứ hai $14,$ $15,$ $\ldots,$ $26$, v.v. trên bảng, một số hình vuông có cùng số trong cả hai hệ thống đánh số. Tìm tổng các số trong các ô vuông này (theo một trong hai hệ thống).

Đường tròn có tâm tại $O$ có bán kính $1$ và chứa điểm $A.$ Đoạn $AB$ tiếp xúc với đường tròn tại $A$ và $\angle AOB = \theta.$ Nếu điểm $C$ nằm trên $\overline{OA}$ và $BC$ chia đôi $\angle ABO,$ thì $OC?$ là bao nhiêu

Trong năm $N,$ ngày thứ $300$ trong năm là thứ Ba. Trong năm $N + 1,$ ngày thứ $200$cũng là thứ Ba. Ngày thứ $100$trong năm $N - 1$ xảy ra vào ngày nào trong tuần?

Trong tam giác $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ và $AC = 15.$ Gọi $D$ là trung điểm của $\overline{BC}$ và $E$ là giao điểm của $\overline{BC}$ với phân giác của góc $BAC.$ Mệnh đề nào sau đây gần nhất với diện tích của tam giác $ADE?$

Nếu $x,$ $y,$ và $z$ là các số dương thỏa mãn $$
x + \frac{1}{y} = 4,
$$ $$
y + \frac{1}{z} = 1,
$$ và $$
z + \frac{1}{x} = \frac{7}{3},
$$ thì $xyz?$ là gì