IMSO 2011 Toán quốc tế — Khám phá

Lưới $5\times5$ được chia thành năm miền như hình. Điền các chữ số 1,2,3,4,5 vào ô trống sao cho mỗi hàng, mỗi cột và mỗi đường chéo đều có đủ năm chữ số, mỗi số một lần. Tổng các chữ số trong năm miền bằng nhau. Hai ô hàng trên đã cho 1 và 2. Hoàn thành lưới và tìm A,B,C,D,E.

Hình có chín hình tròn nối bởi sáu đoạn thẳng. Một hình tròn đã có số 6. Chọn chín số nguyên dương liên tiếp có chứa 6, điền mỗi số vào một hình tròn sao cho tổng trên mỗi đoạn thẳng bằng 23.

Bốn đội A,B,C,D thi đấu vòng tròn hai lượt trong một tuần: mỗi cặp gặp nhau hai lần, mỗi đội chơi tối đa một trận mỗi ngày. Một phần bảng kết quả cuối cùng được cho dưới đây; phần còn lại chia thành bốn mảnh, chỉ ghi kết quả ở một mặt. Hình tròn đen là thắng, trắng là thua. Ghép các mảnh vào bảng và xác định đội vô địch. Trong hình, DAY là ngày, TEAM là đội; Mon,Tue,Wed,Thu,Fri,Sat lần lượt là thứ Hai đến thứ Bảy.

Có thể ghép hình đích bằng một số hoặc tất cả các mảnh khác nhau dưới đây. Được xoay và lật mảnh, nhưng mỗi mảnh chỉ dùng một lần. Tổ hợp nào ghép được hình đích? Dùng màu thể hiện từng mảnh trên hình ở phiếu trả lời.

Bảng phi tiêu chia 20 miền có số. Mỗi lượt ném 3 phi tiêu. Hồng tâm nhỏ nhất được 50 điểm; vòng sát quanh hồng tâm được 25 điểm. Phần không tô của mỗi miền được số điểm ghi trên miền; vòng xám ngoài được gấp đôi, vòng xám giữa được gấp ba. Miền đen ngoài cùng được 0 điểm. Các phi tiêu minh họa được $25+3\times13+12=76$.

(a) Ruthee đạt 137 điểm bằng hai lần gấp ba và một lần thường, không trúng hồng tâm hay vòng 25 điểm. Tìm tất cả các cách.

(b) Archie đạt 137 điểm bằng hai lần gấp ba và một lần gấp đôi. Tìm tất cả các cách.

(c) Archie ném ba phi tiêu, mỗi lần đều được gấp đôi hoặc gấp ba. Những tổng điểm nào không thể đạt? Trong hình, Double Score là gấp đôi, Triple Score là gấp ba, Black area scores 0 là miền đen được 0 điểm.

Các tay đòn của cân được chia thành những đoạn bằng nhau. Một quả cân đặt cách điểm treo hai đoạn gây tác dụng quay gấp đôi quả cân cùng khối lượng đặt cách một đoạn. Cần đặt mỗi quả cân đã cho vào đĩa nào để toàn hệ cân bằng? Ghi khối lượng gam vào đĩa tương ứng. Bộ cân in trong nguồn là 1,2,2,5,7,9,10,11,11,15,20,22.