IMSO 2008 — Toán quốc tế — Khám phá

Tích các chữ số của 166 là $1\times6\times6=36$. Hãy liệt kê càng nhiều càng tốt các số từ 100 đến 1000 có tích các chữ số bằng 36.

Tám hình vuông bằng nhau A, B, C, D, E, F, G, H chồng lên nhau. Hình vẽ là hình nhìn từ trên. Hãy liệt kê các hình theo thứ tự từ trên xuống dưới.

Bỏ ô góc trên trái của lưới $3\times3$ thì còn 11 hình vuông: tám ô đơn vị và ba hình $2\times2$. Bỏ ô giữa thì chỉ còn tám ô đơn vị.





Hai hình A và B đều gồm sáu ô đơn vị.



Trong mỗi phần, bỏ một bản của hình chỉ định khỏi lưới $10\times10$, sao cho biên hình nằm trên đường lưới:

(a) A, để số hình vuông còn lại nhỏ nhất.

(b) A, để số hình vuông còn lại lớn nhất.

(c) B, để số hình vuông còn lại nhỏ nhất.

(d) B, để số hình vuông còn lại lớn nhất.

Có mười hai khối mang số từ 1 đến 12.



Xếp thành ba chồng cao bằng nhau. Tổng các số ở ba chồng phải bằng nhau; các số tăng dần từ trên xuống dưới. Ba ví dụ dưới đây được coi là cùng một cách xếp. Hãy liệt kê càng nhiều cách khác nhau càng tốt.

Xét bảng $5\times5$ chốt. Hai hình chữ thập minh họa đều bao quanh năm chốt.



A. Tìm mọi hình vuông bao quanh chín chốt.

Cũng có thể tạo đường khép kín dùng 24 chốt: bắt đầu ở một chốt, đi sang chốt kế tiếp theo phương ngang hoặc dọc, qua mỗi chốt nhiều nhất một lần rồi trở lại chốt đầu. Dưới đây là hai ví dụ.



Một số chốt luôn thuộc mọi đường qua 24 chốt như vậy; một chốt được đánh dấu dưới đây.



B. Tìm tất cả các chốt bắt buộc đó.

Điền mỗi ô của bảng $6\times6$ bằng một số từ 1 đến 9, tuân theo mọi quy tắc hàng và cột.



- R1: tổng bằng 21.
- R2: tổng bằng 39.
- R3: sáu số liên tiếp theo thứ tự.
- R4: số lớn nhất và nhỏ nhất nằm cạnh nhau.
- R5: đúng hai số 9.
- R6: tổng bằng 21.
- C1: đúng hai số 9; số nhỏ nhất bằng 2.
- C2: sáu số liên tiếp theo thứ tự.
- C3: đúng hai số 3; tổng bằng 21.
- C4: đúng hai số 8; không có số 4.
- C5: đúng hai số 6; tổng bằng 40.
- C6: không có số 7.