IMSO 2007 Toán - Quốc tế - Khám phá

Các số nguyên dương được viết theo thứ tự bắt đầu từ 1 theo quy luật trong hình. Một hình chữ thập bao quanh năm số; ví dụ có tâm là 25.



(a) Tổng các số trong chữ thập tâm 72 là 361. Tổng các số trong chữ thập tâm 75 là bao nhiêu?
(b) Số lớn nhất trong chữ thập tâm 103 là bao nhiêu?
(c) Tổng các số trong một chữ thập là 1151. Số ở tâm là bao nhiêu?

Trên giấy có 40 chấm. Khoảng cách theo chiều dọc hoặc ngang giữa hai chấm kề nhau là 1 cm. Hai chấm A và B được ghi như hình.



Kéo một sợi dây dài 39 cm từ A đến B sao cho dây đi qua nhiều chấm nhất có thể. Vẽ một cách thực hiện.

Khối lập phương có thể quay quanh ba trục a, b, c trong hình.



(i) A là phép quay 90 độ quanh trục a theo chiều mũi tên.
(ii) B là phép quay 90 độ quanh trục b theo chiều mũi tên.
(iii) C là phép quay 90 độ quanh trục c theo chiều mũi tên.
(iv) Các chữ liên tiếp được thực hiện từ trái sang phải: AB nghĩa là làm A rồi làm ngay B.
(v) Lũy thừa biểu diễn lặp bước, nên $A^2$ nghĩa là làm A hai lần.

Một mặt có chữ IMSO.
(a) Nếu mặt IMSO lúc đầu ở phía trước, nó ở đâu sau $A^3B$?
(b) Nếu mặt IMSO ở dưới sau ABC, trước các bước đó nó ở đâu?
(c) Bắt đầu với mặt IMSO ở trước. Viết nhiều dãy bước nhất có thể đưa mặt này trở lại phía trước, trong đó mỗi bước A, B, C được dùng nhiều nhất hai lần.

Một bộ ghép hình gồm mười lăm quân đô-mi-nô. Có thể xếp chúng như sau.



Cùng cách xếp đó, khi bỏ đường bao từng quân, cho bảng $5\times6$ dưới đây.



Hãy xác định vị trí từng quân trong bảng đích sau bằng cách vẽ đường bao các quân.

Cần đi qua bảng chữ nhật dưới đây từ hàng trên cùng tới hàng dưới cùng.
(i) Chỉ được đi lên, xuống, trái hoặc phải; không đi chéo.
(ii) Mỗi đường qua mỗi ô nhiều nhất một lần; các đường khác nhau có thể dùng chung ô.
(iii) Các chữ số trên đường tạo thành ít nhất hai khối lặp. Ví dụ: 1,2,1,2,1,2 có khối 1,2; 2,1,3,2,1,3 có khối 2,1,3; 1,3,4,2,1,3,4,2 có khối 1,3,4,2. Khối cuối có thể chưa đủ.



Hãy vẽ nhiều đường nhất có thể từ một ô bất kỳ ở hàng trên cùng tới một ô bất kỳ ở hàng dưới cùng, tuân theo các quy tắc. Đường màu đỏ trong hình đã có sẵn trong bản gốc.

Trong các hình, dây AB được gọi là đáy. Chọn các điểm trên đường tròn ở phía trên đáy và nối mỗi điểm với cả A và B bằng đoạn thẳng. Hình (a), có một điểm, chứa một tam giác. Hình (b), có hai điểm, chứa năm tam giác.



(a) Có bao nhiêu tam giác với đáy và 3 điểm?
(b) Có bao nhiêu tam giác với đáy và 5 điểm?
(c) Cần ít nhất bao nhiêu điểm để tạo được ít nhất 120 tam giác?