IMSO 2009 Toán học – Tuyển chọn Đài Loan – Khám phá

**Hướng dẫn thi được in trong nguồn.** Trả lời 5 câu sau. Ghi đáp án vào khoảng trống sau mỗi câu. Mỗi câu được 8 điểm. Thời gian: 60 phút.

Tại một cuộc thi điền kinh gần đây, năm người quen cũ Fred, Greta, Hans, Iolo và Jan gặp nhau lần đầu từ khi rời trường đại học nên có nhiều tin để kể. Họ sống ở năm thị trấn khác nhau: Acton, Buswick, Coalford, Derby, Eccles. Nghề của họ khác nhau, theo thứ tự bất kì: kĩ sư, luật sư, giáo viên, bác sĩ và chủ cửa hàng. Mỗi người thắng đúng một môn khác nhau: chạy 100 m, 400 m, 1500 m, nhảy cao và ném lao.

Biết thêm:
1. Hans, chủ cửa hàng ở Derby, thắng nhảy cao.
2. Luật sư ở Eccles nói mình không thi chạy.
3. Greta là giáo viên thể dục ở Buswick và thắng chạy 1500 m.
4. Bác sĩ ở Acton không thắng chạy 100 m.
5. Người ở Derby không phải kĩ sư.
6. Iolo là kĩ sư ở Coalford và không thắng chạy 400 m.
7. Jan không phải luật sư nhưng thắng chạy 400 m.
8. Fred không ở Acton và không thi chạy.

(a) Người ở Coalford thắng môn nào? (1 điểm)

(b) Jan ở thị trấn nào? (1 điểm)

(c) Luật sư tên gì? (2 điểm)

(d) Kĩ sư thắng môn nào? (2 điểm)

(e) Fred thắng môn nào? (2 điểm)

Năm 2008, một trường có 450 học sinh mới, đưa tổng số học sinh lên 1600. Năm 2009 có 504 học sinh mới và 8% số học sinh của năm trước rời trường.

(a) Tính phần trăm tăng của số học sinh mới từ 2008 đến 2009. (2 điểm)

(b) Có bao nhiêu học sinh rời trường? (3 điểm)

(c) Tổng số học sinh của trường năm 2009 là bao nhiêu? (3 điểm)

Hình là một tờ nhỏ gồm 12 tem bưu chính, có đường răng cưa ở các cạnh và cùng mệnh giá. Chữ cái chỉ để phân biệt tem.



Bạn cần 4 tem để gửi thư và muốn cả 4 nối liền theo cạnh, không chỉ chạm góc. Ví dụ ABCD, EFGH, JKLM và FGHL đều được, nhưng EFLM không được. Có bao nhiêu cách lấy một nhóm 4 tem như vậy? Ghi số cách.

Một quân domino gồm hai ô vuông đơn vị nối cạnh, mỗi ô có một số. Mười lăm quân mang số 11, 12, 13, 14, 15, 22, 23, 24, 25, 33, 34, 35, 44, 45, 55 được ghép thành hình chữ nhật 6 × 5 dưới đây. Đường biên từng quân đã bị xóa. Hãy vẽ lại các đường biên để khôi phục các quân domino.

Có thể ghép các hình thoi theo cạnh để tạo hình. Mỗi hình thoi có các cạnh bằng nhau, một góc 60 độ và góc kề 120 độ, diện tích 1 đơn vị vuông. Ghép hai hình thoi cho đúng hai hình khác nhau, gọi là bimond, mỗi hình có diện tích 2 đơn vị vuông.



Mỗi hình dưới là một trimond ghép từ ba hình thoi chung cạnh, diện tích 3 đơn vị vuông. Ba hình vẽ thực ra là cùng một trimond: quay hoặc đối xứng hình này được hình kia.



(1) Từ bộ gồm một hình thoi, hai bimond khác nhau và bộ các trimond khác nhau, dùng một số miếng ghép thành hình bình hành diện tích 12 đơn vị vuông. Vẽ hình, chỉ rõ các miếng dùng. (2 điểm)

(2) Từ cùng bộ miếng ghép, tạo hình bình hành khác cũng diện tích 12 đơn vị vuông nhưng có chu vi khác. Vẽ hình đó. (2 điểm)

(3) Có bao nhiêu hình khác nhau ghép từ bốn hình thoi chung cạnh, mỗi hình có diện tích 4 đơn vị vuông? (4 điểm)

Chú giải hình gốc: Diamond/Diamon = hình thoi; Bimond = hình ghép hai hình thoi; sides equal = các cạnh bằng nhau; area = diện tích; unit = đơn vị.