AMC 12 năm 1993

Đối với số nguyên $a,$ $b,$ và $c,$ xác định $\boxed{a,b,c}$ đến trung bình cộng $a^b-b^c+c^a.$ Khi đó $\boxed{1,-1,2}$ bằng

Trong $\triangle ABC,$ $\angle A=55^\circ,$ $\angle C=75^\circ,$ $D$ nằm về phía $\overline{AB}$ và $E$ nằm về phía $\overline{BC}.$ Nếu $DB=BE,$ thì $\angle BED=$

$$
\frac{15^{30}}{45^{15}}=
$$

Xác định phép toán “$\circ$” theo $x\circ y=4x-3y+xy,$ cho mọi số thực $x$ và $y.$ Cho bao nhiêu số thực $y$ thực hiện $3\circ y=12?$

Năm ngoái, chi phí của một chiếc xe đạp là $\$160$ và một chiếc mũ bảo hiểm đi xe đạp là $\$40.$ Năm nay, chi phí của xe đạp đã tăng thêm $5\%,$ và chi phí của mũ bảo hiểm đã tăng thêm $10\%.$ Tỷ lệ phần trăm tăng trong tổng chi phí của xe đạp và mũ bảo hiểm là

$$
\sqrt{\frac{8^{10}+4^{10}}{8^4+4^{11}}}=
$$

Ký hiệu $R_k$ là viết tắt của một số nguyên có biểu diễn cơ số mười là một chuỗi $k$ đơn vị. Ví dụ: $R_3=111,$ $R_5=11111,$, v.v. Khi $R_{24}$ được chia cho $R_4,$ thương $Q=\frac{R_{24}}{R_4}$ là một số nguyên có biểu diễn cơ số mười là một chuỗi chỉ chứa các số 1 và số 0. Số số 0 trong $Q$ là

Đặt $C_1$ và $C_2$ là các đường tròn bán kính $1$ nằm trong cùng một mặt phẳng và tiếp xúc với nhau. Có bao nhiêu đường tròn bán kính $3$ trong mặt phẳng này và tiếp xúc với cả $C_1$ và $C_2?$

Quốc gia $A$ có $c\%$ dân số thế giới và sở hữu $d\%$ của cải của thế giới. Quốc gia $B$ có $e\%$ dân số thế giới và $f\%$ về sự thịnh vượng. Giả sử rằng các công dân của $A$ chia sẻ tài sản của $A$ như nhau và giả định rằng những công dân của $B$ chia sẻ tài sản của $B$ như nhau. Tìm tỷ lệ tài sản của một công dân $A$ so với tài sản của một công dân $B.$

Đặt $r$ là số thu được khi cả cơ số và số mũ của $a^b$ đều nhân ba, trong đó $a,$ $b\gt0.$ Nếu $r$ bằng tích của $a^b$ và $x^b$ trong đó $x\gt0,$ thì $x=$

Nếu $\log_2(\log_2(\log_2(x)))=2,$ thì biểu diễn cơ số mười của $x?$ có bao nhiêu chữ số

Nếu $f(2x)=\frac{2}{2+x}$ cho tất cả $x\gt0,$ thì $2f(x)=$

Một hình vuông chu vi $20$ nội tiếp trong một hình vuông chu vi $28.$ Khoảng cách lớn nhất giữa một đỉnh của hình vuông bên trong và một đỉnh của hình vuông bên ngoài là bao nhiêu?

Ngũ giác lồi $ABCDE$ có $\angle A=\angle B=120^\circ,$ $EA=AB=BC=2$ và $CD=DE=4.$ diện tích của $ABCDE?$ là gì

Với bao nhiêu giá trị của $n$ thì một đa giác đều có cạnh $n$ sẽ có các góc trong với số đo tích phân?

Xét dãy số nguyên dương không giảm $$
\begin{aligned} &1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,\\ &5,5,5,5,5,\ldots \end{aligned}
$$ trong đó số nguyên dương thứ $n$xuất hiện $n$ lần. số dư khi số hạng thứ $1993$được chia cho $5$ là

Amy vẽ một bảng phi tiêu lên mặt đồng hồ hình vuông bằng cách sử dụng “vị trí giờ” làm ranh giới. [Xem hình.] Nếu $t$ là diện tích của một trong tám vùng tam giác chẳng hạn như giữa $12$ giờ và $1$ giờ, và $q$ là diện tích của một trong bốn tứ giác góc chẳng hạn như giữa $1$ giờ và $2$ giờ, sau đó $\frac qt=$

Al và Barb bắt đầu công việc mới của họ trong cùng một ngày. Lịch trình của Al là $3$ ngày làm việc, sau đó là $1$ ngày nghỉ. Lịch trình của Barb là $7$ ngày làm việc, sau đó là $3$ ngày nghỉ. Trong $1000$ ngày đầu tiên cả hai có bao nhiêu ngày nghỉ trong cùng một ngày?

Có bao nhiêu cặp số có thứ tự $(m,n)$ số nguyên dương là nghiệm của $$
\frac4m+\frac2n=1?
$$

Xét phương trình $10z^2-3iz-k=0,$ trong đó $z$ là một biến phức và $i^2=-1.$ Phát biểu nào sau đây là đúng?