IMSO 2008 Toán học tại Đài Loan – Trả lời ngắn

Trong hình, hai cân phía trên cân bằng hoàn toàn. Ở cân thứ ba, bên phải nặng hơn bên trái nên phải được chống đỡ như hình. Cần thêm vật gì vào bên trái để cân thứ ba cũng cân bằng?

Một hình chữ nhật được chia thành 9 hình chữ nhật nhỏ như hình, không vẽ đúng tỉ lệ. Diện tích của 5 hình nhỏ được cho theo cùng một đơn vị thích hợp. $X$ bằng bao nhiêu?

Hình nhìn từ trên xuống cho thấy bảy lon nước ngọt được buộc sát nhau bằng một dải ruy-băng. Các đường tròn là miệng lon; đường cong còn lại, rõ ràng không phải đường tròn, là mép dải ruy-băng. Hai đầu dải vừa chạm nhau, không chồng lên nhau. Mỗi lon có đường kính 6 cm. Tìm chiều dài chính xác của dải ruy-băng. (Lấy $\pi=3.14$.)

A, B, C, D là bốn thành viên đội bóng đá, không ai có khối lượng bằng nhau. A nặng hơn C 8 kg; D nặng hơn B 4 kg. Tổng khối lượng của người nặng nhất và nhẹ nhất ít hơn tổng khối lượng của hai người còn lại 2 kg. Tổng khối lượng cả bốn là 402 kg. B nặng bao nhiêu?

Một buổi tối tại câu lạc bộ thanh thiếu niên, một phần tư số thành viên chơi bi-a, một phần sáu chơi bóng bàn, và số người xem ti-vi bằng năm lần hiệu hai số người đó. Thêm một phần mười hai số thành viên đọc sách, còn 7 người đi lại chưa quyết định làm gì. Tối đó có bao nhiêu thành viên có mặt? Không ai làm đồng thời nhiều việc; chẳng hạn không ai vừa chơi bi-a vừa xem ti-vi.

Trong phép cộng sau, mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 xuất hiện đúng một lần.



Có nhiều phép cộng tương tự: ba số có hai chữ số cộng thành một số có ba chữ số, dùng mỗi chữ số 1–9 đúng một lần. Tìm tổng lớn nhất (số có ba chữ số).

Quanh hồ vịt trong công viên có đường đi dài một dặm. Bà đi bộ quanh hồ một giờ với vận tốc trung bình 3 dặm/giờ. Cháu Jerry xuất phát cùng chỗ, cùng lúc, chạy một giờ với vận tốc trung bình 8 dặm/giờ theo chiều ngược lại. Họ gặp nhau bao nhiêu lần sau khi xuất phát và trước khi kết thúc buổi vận động? Không tính lần gặp cuối.

Catriona muốn trở thành vận động viên chạy nước rút Olympic. Em gái Morag thích chơi bóng đá hơn nhưng giúp chị bằng cách chạy đua cùng chị. Trong cuộc đua 100 m, khi Catriona về đích, Morag còn cách đích 20 m. Để khó hơn, Catriona đồng ý xuất phát lùi 20 m so với vạch thông thường. Cả hai chạy với đúng vận tốc như ở cuộc đua đầu. Khi Catriona về đích, Morag ở đâu?

Thẻ ngân hàng của tôi có mã bốn chữ số để nhập khi rút tiền ở ATM. Để nhớ mã, tôi ghi:

(a) Không có hai chữ số bằng nhau.

(b) Chữ số thứ tư bằng tổng ba chữ số còn lại.

(c) Chữ số đầu bằng tổng hai chữ số giữa.

(d) Đảo ngược số thì được một bội nguyên của 7.

Mã của tôi là gì?

Sáu trong bảy vị trí có sáu con ếch mang số 1, 2, 3, 4, 5, 6 như hình. Một con được nhảy sang vị trí trống kề bên, hoặc vượt qua một con khác đến vị trí trống cách hai ô; có thể đi lùi hoặc tiến. Cần ít nhất bao nhiêu bước để sáu con chiếm đúng sáu vị trí ban đầu nhưng theo thứ tự 6, 5, 4, 3, 2, 1 từ trái sang phải?

Một ngày có thể biểu diễn bằng ba số nguyên dương. Ví dụ, ngày 17 tháng 6 năm 1995 viết 17.6.95: ngày thứ 17, tháng thứ 6, năm thứ 95 của thế kỷ 20. Định nghĩa “tổng ngày tháng” bằng tổng ba số đó, nên ngày 17 tháng 6 năm 1995 có tổng $17+6+95=118$. Gọi $n$ là tổng các tổng ngày tháng của mọi ngày từ 1 tháng 1 năm 2001 đến 31 tháng 12 năm 2007, kể cả hai đầu. Tìm $n$.

$AB$ là đường kính của đường tròn tâm $M$. Dây $CD$ song song với $AB$, và $C$ là đầu dây gần $A$ hơn. $MC$ cắt $AD$ tại $E$ sao cho $AC=EC$. Tìm số đo góc $CAM$.