AMC 12 năm 1992

Nếu $3(4x+5\pi)=P,$ thì $6(8x+10\pi)=$

Một chiếc bình chứa đầy tiền xu và hạt, tất cả đều bằng bạc hoặc vàng. Hai mươi phần trăm đồ vật trong bình là hạt. Bốn mươi phần trăm số tiền trong bình là bạc. Bao nhiêu phần trăm đồ vật trong bình là tiền vàng?

Nếu $m\gt0$ và các điểm $(m,3)$ và $(1,m)$ nằm trên một đường thẳng có độ dốc $m,$ thì $m=$

Nếu $a,$ $b,$ và $c$ là số nguyên dương và $a$ và $b$ là số lẻ thì $3^a+(b-1)^2c$ là

$6^6+6^6+6^6+6^6+6^6+6^6=$

Nếu $x\gt y\gt0,$ thì $$
\frac{x^y y^x}{y^y x^x}=
$$

Tỷ lệ của $w$ với $x$ là $4:3,$ của $y$ đến $z$ là $3:2,$ và của $z$ đến $x$ là $1:6.$ Tỷ lệ của đến là $w$ đến $y?$

Một sàn hình vuông được lát gạch vuông bằng nhau. Gạch ở hai đường chéo của sàn có màu đen. Phần còn lại của gạch có màu trắng. Nếu có $101$ ô màu đen thì tổng số ô là

Năm hình tam giác đều, mỗi hình có cạnh $2\sqrt3,$ được sắp xếp sao cho tất cả chúng đều nằm trên cùng một cạnh của một đường thẳng chứa một cạnh. Dọc theo đường thẳng này, trung điểm của đáy của một tam giác là đỉnh của tam giác tiếp theo. diện tích của vùng mặt phẳng được bao phủ bởi sự kết hợp của năm vùng tam giác là

Số số nguyên dương $k$ mà phương trình $$
kx-12=3k
$$ có nghiệm nguyên cho $x$ là

Tỷ lệ bán kính của hai đường tròn đồng tâm là $1:3.$ Nếu $\overline{AC}$ là đường kính của đường tròn lớn hơn, $\overline{BC}$ là dây cung của đường tròn lớn hơn tiếp xúc với đường tròn nhỏ hơn và $AB=12,$ thì bán kính của đường tròn lớn hơn là

Đặt $y=mx+b$ là hình ảnh khi đường thẳng $x-3y+11=0$ được phản ánh qua trục $x$. Giá trị của $m+b$ là

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(a,b)$ với $a+b\le100$ thỏa mãn phương trình $$
\frac{a+b^{-1}}{a^{-1}+b}=13?
$$

Phương trình nào sau đây có cùng đồ thị? $$
\begin{aligned} &\text{I. }y=x-2\\ &\text{II. }y=\dfrac{x^2-4}{x+2}\\ &\text{III. }(x+2)y=x^2-4 \end{aligned}
$$

Hãy để $i=\sqrt{-1}.$ Với $n\ge1,$ xác định một chuỗi số phức bằng $$
\begin{aligned} z_1&=0,\\ z_{n+1}&=z_n^2+i. \end{aligned}
$$ Trong mặt phẳng phức, khoảng cách từ điểm gốc là $z_{111}?$

Nếu $$
\frac{y}{x-z}=\frac{x+y}{z}=\frac{x}{y}
$$ cho ba số dương $x,$ $y,$ và $z,$ đều khác nhau, thì $\frac{x}{y}=$

Các số nguyên có hai chữ số từ $19$ đến $92$ được viết liên tiếp để tạo thành số nguyên lớn $$
N=19202122\ldots909192.
$$ Nếu $3^k$ là lũy thừa cao nhất của $3$ tức là thừa số của $N,$ thì $k=$

Dãy số nguyên dương tăng dần $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ có tính chất là, với mọi $n\ge1,$ $$
a_{n+2}=a_n+a_{n+1}.
$$ Nếu $a_7=120,$ thì $a_8$ là

Với mỗi đỉnh của một hình lập phương, xét tứ diện được xác định bởi đỉnh đó và trung điểm của ba cạnh gặp nhau tại đỉnh đó. Phần của khối lập phương còn lại khi tám khối tứ diện này bị cắt đi được gọi là *khối lập phương*. Tỷ lệ thể tích của khối lập phương với thể tích của hình lập phương ban đầu gần với tỷ số nào nhất trong số này?

Một phần của “ngôi sao thông thường nhọn $n$” được hiển thị. Nó là một đa giác khép kín đơn giản trong đó tất cả các cạnh $2n$ là bằng nhau, các góc $A_1,$ $A_2,$ $\ldots,$ $A_n$ là bằng nhau và các góc $B_1,$ $B_2,$ $\ldots,$ $B_n$ là bằng nhau. Nếu góc nhọn tại $A_1$ nhỏ hơn $10^\circ$ nhỏ hơn góc nhọn tại $B_1,$ thì $n=$