IMSO 2004 Toán học – Khám phá quốc tế

Cho một số tam giác đều có cạnh dài 1 cm, gồm hai màu vàng và xanh lam. Ba tam giác xanh và một tam giác vàng có thể xếp thành tam giác đều cạnh 2 cm (mẫu thứ nhất bên dưới). Sáu tam giác xanh và ba tam giác vàng được xếp thành tam giác đều cạnh 3 cm (mẫu thứ hai bên dưới).



(a) Cần bao nhiêu tam giác xanh và tam giác vàng để xếp hình có cạnh 6 cm?

(b) Nếu muốn xếp theo mẫu tương tự thành tam giác đều cạnh 10 cm, cần bao nhiêu tam giác xanh và tam giác vàng?

(c) Nếu muốn xếp thành tam giác đều cạnh 20 cm, cần bao nhiêu tam giác xanh và tam giác vàng?

Ở đây, hình thang được định nghĩa là tứ giác có một cặp cạnh đối song song, còn cặp cạnh đối kia không song song. Trong cách bố trí điểm hình chữ nhật dưới đây, có đúng ba dạng hình thang không bằng nhau. Một hình trong số đó là BCIG.



(a) Tìm hai hình thang còn lại không bằng nhau và không bằng BCIG.

(b) Tìm bảy hình thang khác bằng BCIG.

(c) Tổng cộng có bao nhiêu hình thang tạo được từ cách bố trí điểm này (kể cả các hình bằng nhau, không bằng nhau và BCIG)?

Có 96 cách đặt khác nhau một viên I-tromino (hình chữ nhật 1 × 3 ô) trên các ô của bàn cờ 8 × 8, theo các đường kẻ của bàn cờ. Có 48 vị trí thẳng đứng và 48 vị trí nằm ngang (xem hình).



(a) Có bao nhiêu cách đặt khác nhau một viên V-tromino (xem hình) trên các ô bàn cờ?



(b) Có bao nhiêu cách đặt khác nhau một viên T-tetramino (xem hình) trên các ô bàn cờ?



(c) Có bao nhiêu cách đặt khác nhau một viên L-tetramino (xem hình) trên các ô bàn cờ?

Dùng các tam giác vuông cân để tạo những cách xếp khác nhau có chứa hình vuông, như các hình minh họa:

Hình thứ nhất: Dùng hai tam giác, ta tạo được cách xếp chứa một hình vuông ABCD.

Hình thứ hai: Dùng bốn tam giác, ta tạo được cách xếp chứa hai hình vuông ABEF và BCDE.

Hình thứ ba: Dùng tám tam giác, ta có sáu hình vuông ABEF, BCDE, EDIH, FEHG, BDHF và ACIG.



(a) Dùng 10 tam giác như vậy, có thể tìm được nhiều nhất bao nhiêu hình vuông?

(b) Nếu dùng 12 tam giác thì sao?

(c) Nếu dùng 18 tam giác thì sao?

(d) Nếu dùng 24 tam giác thì sao?

Popon đi giao báo dọc các đường phố trong khu dân cư. Tiền công tính theo quãng đường đi, nên đi càng xa thì tiền công càng cao. Em có thể đi qua mỗi giao lộ nhiều lần tùy ý, nhưng không được đi qua một đoạn đường hơn một lần (mỗi đoạn đường nối hai điểm kề nhau).

Ví dụ, trong khu dân cư có dạng dưới đây, Popon xuất phát từ K và kết thúc tại O. Để nhận tiền công cao nhất, em chọn đường đi dài nhất có thể. Một cách đi được đánh số 1-2-3-4-5-6-7-8 trong hình.



Nếu khu dân cư có dạng hình tiếp theo, đường đi dài nhất từ A đến B là gì? Hãy vạch đường và ghi các số 1, 2, 3, ... trên những đoạn đường theo thứ tự đi.



Nhãn trên hình: mỗi đoạn đường ngang dài 50 m; mỗi đoạn đường dọc dài 30 m.

Các hình dưới đây biểu diễn một hình chóp tam giác và một số hình khai triển của nó.



Bạn được phát ba tờ giấy kẻ ô để làm bài (không nhất thiết dùng hết) và một tờ giấy màu hồng. Hãy vẽ hình khai triển của hình lập phương lớn nhất trên giấy kẻ ô sao cho hình khai triển đó vừa với tờ giấy màu hồng.