AMC 12 năm 1989

$(-1)^{5^2}+1^{2^5}=$

$\sqrt{\frac19+\frac1{16}}=$

Một hình vuông được cắt thành ba hình chữ nhật dọc theo hai đường thẳng song song với một cạnh như hình vẽ. Nếu chu vi của mỗi hình chữ nhật trong số ba hình chữ nhật là $24,$ thì diện tích của hình vuông ban đầu là

Trong hình, $ABCD$ là một hình cân hình thang có độ dài các cạnh $AD=BC=5,$ $AB=4,$ và $DC=10.$ Điểm $C$ nằm trên $\overline{DF}$ và $B$ là điểm giữa của cạnh huyền $\overline{DE}$ trong tam giác vuông $DEF.$ Sau đó $CF=$

Những chiếc tăm có chiều dài bằng nhau được dùng để dựng một lưới hình chữ nhật như hình vẽ. Nếu lưới $20$ tăm cao và $10$ tăm rộng thì số tăm được sử dụng là

Nếu $a,$ $b\gt0$ và tam giác trong góc phần tư thứ nhất giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của $ax+by=6$ có diện tích $6,$ thì $ab=$

Trong $\triangle ABC,$ $\angle A=100^\circ,$ $\angle B=50^\circ,$ $\angle C=30^\circ,$ $AH$ là độ cao và $BM$ là trung vị. Sau đó $\angle MHC=$

Với bao nhiêu số nguyên $n$ nằm giữa $1$ và $100$ thì $x^2+x-n$ thừa số trở thành tích của hai thừa số tuyến tính có hệ số nguyên?

Ông bà Zeta muốn đặt tên cho con mình là Zeta sao cho chữ lồng của nó (tên viết tắt đầu tiên, giữa và cuối) sẽ theo thứ tự bảng chữ cái và không có chữ cái nào lặp lại. Có thể có bao nhiêu chữ lồng như vậy?

Hãy xem xét trình tự được xác định đệ quy bởi $u_1=a$ (bất kỳ số dương nào) và $u_{n+1}=-\frac{1}{u_n+1},$ $n=1,$ $2,$ $3,$ $\ldots.$ Đối với giá trị nào sau đây của $n$ phải $u_n=a?$

Đặt $a,$ $b,$ $c$ và $d$ là các số nguyên với $a\lt2b,$ $b\lt3c,$ và $c\lt4d.$ Nếu $d\lt100,$ giá trị lớn nhất có thể có của $a$ là

Giao thông trên một đường cao tốc đông-tây nhất định di chuyển với tốc độ không đổi $60$ dặm một giờ theo cả hai hướng. Người lái xe hướng đông vượt qua $20$ phương tiện đi hướng tây trong khoảng thời gian năm phút. Giả sử các phương tiện ở làn đường hướng Tây cách đều nhau. Điều nào sau đây gần nhất với số lượng phương tiện đi về hướng Tây có trong đoạn đường cao tốc $100$ dặm?

Hai dải có chiều rộng $1$ chồng lên nhau một góc $\alpha$ như minh họa. diện tích của phần chồng chéo (hiển thị được tô bóng) là

$\cot10+\tan5=$

Trong $\triangle ABC,$ $AB=5,$ $BC=7,$ $AC=9$ và $D$ nằm trên $\overline{AC}$ với $BD=5.$ Tìm tỉ số $AD:DC.$

*Điểm mạng* là một điểm trong mặt phẳng có tọa độ nguyên. Có bao nhiêu điểm mạng trên đoạn đường có điểm cuối là $(3,17)$ và $(48,281)?$ (Bao gồm cả hai điểm cuối của đoạn đó trong số đếm của bạn.)

chu vi của tam giác đều vượt quá chu vi của hình vuông $1989$ cm. Độ dài mỗi cạnh của tam giác lớn hơn độ dài mỗi cạnh hình vuông $d$ cm. Hình vuông có chu vi lớn hơn $0.$ Có bao nhiêu số nguyên dương **không** có thể có giá trị cho $d?$

Tập hợp tất cả các số thực $x$ mà $$
x+\sqrt{x^2+1}-\frac1{x+\sqrt{x^2+1}}
$$ là số hữu tỷ là tập hợp tất cả

Một hình tam giác được ghi trong một vòng tròn. Các đỉnh của tam giác chia hình tròn thành ba cung có độ dài $3,$ $4,$ và $5.$ diện tích của tam giác là gì?

Giả sử $x$ là số thực được chọn ngẫu nhiên thống nhất giữa $100$ và $200.$ Nếu $\lfloor\sqrt{x}\rfloor=12,$ tìm thấy xác suất mà $\lfloor\sqrt{100x}\rfloor=120.$ ($\lfloor v\rfloor$ có nghĩa là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $v.$)