AMC 12 năm 1984

$\frac{1000^2}{252^2-248^2}$ bằng

Nếu $x,$ $y$ và $y-\frac1x$ không phải là $0,$ thì $$
\frac{x-\frac1y}{y-\frac1x}
$$ bằng

Đặt $n$ là số nguyên không nguyên tố nhỏ nhất lớn hơn $1$ không có số nguyên tố nào thừa số nhỏ hơn $10.$ Khi đó

Một hình chữ nhật cắt một hình tròn như hình vẽ: $AB=4,$ $BC=5$ và $DE=3.$ Khi đó $EF$ bằng

Số nguyên lớn nhất $n$ mà $n^{200}\lt5^{300}$ là

Ở một ngôi trường nọ, số học sinh nam gấp ba lần số học sinh nữ và số học sinh nữ nhiều gấp chín lần số giáo viên. Sử dụng các chữ cái $b,$ $g,$ $t$ để biểu thị lần lượt số nam, nữ và giáo viên, khi đó tổng số nam, nữ và giáo viên có thể được biểu diễn bằng biểu thức

Khi Dave đi bộ đến trường, trung bình anh ấy đi bộ $90$ bước mỗi phút, mỗi bước của anh ấy dài $75$ cm. Anh ấy phải mất $16$ phút để đến trường. Anh trai của anh, Jack, đi học cùng trường bằng cùng một tuyến đường, trung bình $100$ bước mỗi phút, nhưng bước của anh chỉ dài $60$ cm. Jack phải mất bao lâu để đến trường?

Hình $ABCD$ là một hình thang với $AB\parallel DC,$ $AB=5,$ $BC=3\sqrt2,$ $\angle BCD=45^\circ$ và $\angle CDA=60^\circ.$ Độ dài của $DC$ là

Số chữ số trong $4^{16}5^{25}$ (khi viết ở dạng cơ số $10$ thông thường) là

Bốn số phức nằm ở các đỉnh của hình vuông trong mặt phẳng phức. Ba trong số các số đó là $1+2i,$ $-2+i$ và $-1-2i.$ Số thứ tư là

Một máy tính có một phím thay thế mục nhập được hiển thị bằng hình vuông của nó và một phím khác thay thế mục nhập được hiển thị bằng nghịch đảo của nó. Đặt $y$ là kết quả cuối cùng nếu một người bắt đầu với một mục nhập $x\ne0$ và luân phiên bình phương và đối ứng $n$ lần mỗi mục. Giả sử máy tính hoàn toàn chính xác (ví dụ: không làm tròn hoặc tràn), thì $y$ bằng

Nếu chuỗi $\{a_n\}$ được xác định bởi $$
\begin{aligned} a_1&=2,\\ a_{n+1}&=a_n+2n\quad(n\ge1), \end{aligned}
$$ thì $a_{100}$ bằng

$\frac{2\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}$ bằng

Tích của tất cả các nghiệm thực của phương trình $x^{\log_{10}x}=10$ là

Nếu $\sin2x\sin3x=\cos2x\cos3x,$ thì một giá trị cho $x$ là

Hàm $f(x)$ thỏa mãn $f(2+x)=f(2-x)$ cho mọi số thực $x.$ Nếu phương trình $f(x)=0$ có chính xác bốn nghiệm thực phân biệt thì tổng của các nghiệm này là

A tam giác vuông $ABC$ với cạnh huyền $AB$ có cạnh $AC=15.$ Độ cao $CH$ chia $AB$ thành các đoạn $AH$ và $HB,$ với $HB=16.$ Diện tích của $\triangle ABC$ là

Một điểm $(x,y)$ phải được chọn trong mặt phẳng tọa độ sao cho nó cách đều trục $x$, trục $y$ và đường thẳng $x+y=2.$ Khi đó $x$ là

Một hộp chứa $11$ quả bóng, được đánh số $1,$ $2,$ $3,$ $\ldots,$ $11.$ Nếu $6$ quả bóng được rút ngẫu nhiên đồng thời, thì xác suất mà tổng số trên các quả bóng được rút ra là bao nhiêu? kỳ quặc?

Số nghiệm phân biệt của phương trình $\left|x-|2x+1|\right|=3$ là