AMC 12 năm 1980

Số nguyên lớn nhất sao cho bảy lần số đó nhỏ hơn $100$ là

Bậc của $(x^2+1)^4(x^3+1)^3$ dưới dạng đa thức trong $x$ là

Nếu tỷ lệ của $2x-y$ với $x+y$ là $\frac23,$ thì tỷ lệ của $x$ đến $y?$ là bao nhiêu?

Trong hình bên cạnh, $CDE$ là một tam giác đều và $ABCD$ và $DEFG$ là các hình vuông. Số đo của $\angle GDA$ là

Nếu $AB$ và $CD$ là đường kính vuông góc của đường tròn $Q,$ $P$ trong $AQ,$ và $\angle QPC=60^\circ,$ thì chiều dài của $PQ$ chia cho chiều dài của $AQ$ là

Một số dương $x$ thỏa mãn bất đẳng thức $\sqrt x\lt2x$ khi và chỉ khi

Các cạnh $AB,$ $BC,$ $CD,$ và $DA$ của đa giác lồi $ABCD$ có độ dài lần lượt là $3,$ $4,$ $12,$ và $13,$; và $\angle CBA$ là góc vuông. diện tích của tứ giác là

Có bao nhiêu cặp $(a,b)$ số thực khác 0 thỏa mãn phương trình $$
\frac1a+\frac1b=\frac1{a+b}?
$$

Một người đàn ông đi $x$ dặm về phía tây, rẽ $150^\circ$ sang trái và đi $3$ dặm theo hướng mới. Nếu anh ta về đích ở điểm $\sqrt3$ dặm tính từ điểm xuất phát thì $x$ là

Số răng của ba bánh răng tròn ăn khớp $A,$ $B,$ $C$ lần lượt là $x,$ $y,$ $z,$. (Răng trên tất cả các bánh răng có cùng kích thước và cách đều nhau như trong hình.) Tốc độ góc, tính bằng vòng trên phút, của $A,$ $B,$ $C$ tỷ lệ thuận với nhau

Nếu tổng của các số hạng $10$ đầu tiên và tổng của các số hạng $100$ đầu tiên của một cấp số cộng đã cho lần lượt là $100$ và $10,$, thì tổng của các số hạng $110$ đầu tiên là

Các phương trình của $L_1$ và $L_2$ lần lượt là $y=mx$ và $y=nx,$. Giả sử $L_1$ tạo một góc lớn gấp đôi so với phương nằm ngang (được đo ngược chiều kim đồng hồ từ trục dương $x$) cũng như $L_2,$ và $L_1$ có $4$ lần độ dốc của $L_2.$ Nếu $L_1$ không nằm ngang thì $mn$ là

Một lỗi (có kích thước không đáng kể) bắt đầu từ điểm gốc trên mặt phẳng tọa độ. Đầu tiên, nó di chuyển đơn vị $1$ sang phải $(1,0).$ Sau đó, nó thực hiện một vòng $90^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ và di chuyển $\frac12$ một đơn vị đến $(1,\frac12).$ Nếu nó tiếp tục theo cách này, mỗi lần thực hiện một $90^\circ$ lần lượt ngược chiều kim đồng hồ và đi được nửa quãng đường so với lần đi trước thì sẽ tới gần điểm nào nhất?

Nếu $c$ là một hằng số và hàm $f$ được xác định bởi $$
\begin{gathered} f(x)=\frac{cx}{2x+3},\\ x\ne-\frac32, \end{gathered}
$$ thỏa mãn $f(f(x))=x$ cho tất cả các số thực $x$ ngoại trừ $-\frac32,$ thì $c$ là

Một cửa hàng định giá một mặt hàng bằng đô la và xu để khi thêm thuế bán hàng $4\%$ thì không cần làm tròn vì kết quả chính xác là $n$ đô la, trong đó $n$ là số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất của $n$ là

Bốn trong số tám đỉnh của hình lập phương là các đỉnh của một tứ diện đều. Tìm tỉ số giữa bề mặt diện tích của hình lập phương với bề mặt diện tích của khối tứ diện.

Cho rằng $i^2=-1,$ với bao nhiêu số nguyên $n$ thì $(n+i)^4$ là số nguyên?

Nếu $b\gt1,$ $\sin x\gt0,$ $\cos x\gt0$ và $\log_b\sin x=a,$ thì $\log_b\cos x$ bằng

Giả sử $C_1,$ $C_2,$ và $C_3$ là ba dây cung song song của một đường tròn ở cùng một phía của tâm. Khoảng cách giữa $C_1$ và $C_2$ bằng khoảng cách giữa $C_2$ và $C_3.$ Độ dài của các dây là $20,$ $16,$ và $8.$ Bán kính của hình tròn là

Một hộp chứa $2$ đồng xu, $4$ niken và $6$ dime. Sáu đồng xu được rút ra mà không cần thay thế, mỗi đồng xu có xác suất bằng nhau được chọn. xác suất mà giá trị của đồng xu được rút là ít nhất $50$ xu là bao nhiêu?